Волшебный двурог

— Да так уж повелось от тех времен, когда вместо «отразилось» говорили «отобразилось». Это не так уж давно было, примерно во времена Лобачевского. Это слово встречается и у Гоголя. Имейте также в виду, что только под пером великого Эйлера мы получили все права гражданства в математике. С вашего разрешения мы вернемся сейчас еще на некоторое время к решению уравнений. Тут вы и узнаете, как мы появились на белый свет, что мы помогли узнать математикам и как они с нашей помощью стали открывать одну тайну за другой.

— Ну, Илюша, как дела? — спросил с усмешкой Радикс. — Тебе все ясно?

— Не очень! — признался Илья со вздохом. — Нет, не очень. А нельзя ли как-нибудь так придумать, чтобы не было двух разных плоскостей, а то меня путает, что их две? Ведь на самом-то деле это одно уравнение, а вовсе не два?

— Справедливо! — согласился Мнимий. — Действительно, одно.

— Может быть, попробовать еще? — предложил Радикс. — Возьмем еще одну параболу. Уравнение ее напишем так:

z = х² — 8х + q.

Значит, свободный ее член у нас обозначается теперь буквой q.

Если попробовать решить квадратное уравнение:

х² — 8х + q = 0,

мы получим…

— …вот что! — сказал Илюша и написал:

Значит, пока наше q меньше шестнадцати, корни будут действительные, а если q больше шестнадцати, то комплексные.

— Разумеется! — согласился Мнимий.

— А когда q равно в точности шестнадцати, парабола только касается оси абсцисс в точке, равной четырем. Если же q равно нулю, то оба корня будут действительные — один равен нулю, а другой — восьми. Но только… как же нам теперь увидать еще и комплексные корни?

— Не спеши, — отвечал Радикс, — сейчас мы все это соорудим. А уж ты следи внимательнее за этим новым тонким и умным волшебством. Нам ведь нужно определить, существуют ли такие комплексные числа, чтобы при подстановке их в левую

— 419 —

часть уравнения мы получили бы действительное число? Существуют ли, а если да, то каковы они?

— Тогда, — отвечал Илья, поразмыслив, — нам придется подставить в левую часть комплексное число (z+ iy), а затем посмотреть, что из этого выйдет. Получится, значит, так:

r = (х + iy)² — 8(х + iy) + q= (x² — y²— 8x + q) + i(2xy — 8y).

Мне кажется, что это выражение может оказаться действительным единственно только в том случае, если вся скобка, на которую умножается i, будет равна нулю.

— Так! — согласился Мнимий. — Верно. Это дело! А в каком случае так оно будет?

— Если, — отвечал мальчик, — я перепишу эту скобку немного иначе:

2ху — 8у = 2у (х — 4),

то ясно, что это может произойти только в двух случаях, либо игрек равен нулю (ну, тут все и так ясно, говорить нечего!), либо икс равен четырем.

— Хорошо! — сказал Мнимий, улыбаясь. — Теперь уж у нас все готово, и мы можем приступить к нашему волшебству, которое нам все и покажет в полной наглядности, как оно и полагается в нашем волшебном царстве, построенном на поучение самым любознательным и дерзновенным юношам…

— Дерзновенным! — с усмешкой повторил Радикс. — Но я слышал, как друг Пушкина, замечательный русский поэт и мыслитель Евгений Баратынский однажды написал:

Надейтесь, юноши кипящие!
Летите, крылья вам даны…

А ведь так оно и полагается, дружище, в нашем светлом волшебном и вполне серьезном царстве для любознательных ребят!

— Ура! — закричал Илья. — Давайте ваше новое волшебство. Вы уж такие волшебники…

— Потише ты! — возразил Радикс. — Не спеши. Поспеешь!

Это будет штучка довольно затейливая. Начнем с того, что это новое волшебство будет не на плоскости, а в пространстве.

— В трехмерном? — робко пропищал Илья.

— Неужто тебе трехмерного мало? — свирепо огрызнулся Радикс. — Можно и четырехмерное, да ты испугаешься! Ну!

Смотри во все глаза.

Радикс медленно и важно махнул рукой. И тотчас же перед Илюшей возникла плоскость, где были начерчены обыкновенные декартовы координаты (икс, игрек, как оно и полагается!). Направо от начала координат была проведена еще одна пря-

— 420 —

мая, параллельная оси игрек, как раз в том самом месте, где икс равнялся четырем.

— Смекаешь? — спросил Радикс, указав Илье на эту четверку.

— Смекаю… — несмело откликнулся Илья, — то есть это та самая четверка, при которой моя скобка становится равной нулю? Так или нет?

— Именно! — отвечал ему его друг.

Смотри далее… Да смотри в оба! Полагаем твое q равным нулю… А теперь…

Тут Илюшина плоскость потихонечку повернулась и легла горизонтально, повиснув в воздухе примерно в сантиметрах шестидесяти от пола. Да так и застыла. Как только это произошло, из каждой точки креста, образованного осью иксов и новой прямой, которая пересекла ось иксов в точке, равной четырем, начали постепенно расти перпендикуляры к этой самой плоскости, которая и была плоскостью (х + iy), то есть плоскостью комплексных векторов (следи внимательней!).

И тут, опираясь на эти перпендикуляры и пересекая ось иксов (там, где игрек равен нулю), из концов этих перпендикуляров выросла парабола. Самая настоящая парабола с уравнением:

z = х² — 8х.