Волшебный двурог

— Надо еще не забывать о том, — добавил Радикс, — что наука о звездном небе с самых древних времен была необходима человеку в его путешествиях. Мореход в открытом море определяет свое положение по звездам. Так же поступает и кочевник в пустыне, где тоже нет ориентиров. Знания о звездах накапливаются и постепенно превращаются в науку. Наш русский путешественник-естествоиспытатель В. К. Арсеньев рассказывает[18], как зимой в тундре, среди необозримых снегов он кочевал с одним племенем тунгусов. Однажды ему сказали, что дня через два они сойдутся с другим кочующим народом. Наконец кочевники выбрали себе какое-то место, которое, по мнению Арсеньева, ничем не отличалось от других.

К вечеру старики стали наблюдать небо, но жаловались, что густая облачность не дает рассмотреть то, что им надо, и из-за этого они не совсем уверены, так ли выбрали место стоянки, ибо их родичи придут на определенное место. Прошло

— 262 —

два дня, и утром, проснувшись, Арсеньев с изумлением обнаружил, что другие кочевники пришли на то же место. A в дальнейшем ему неохотно и не очень толково объяснили, что старики определили место по звездам, причем очевидно, что старики в обеих группах кочевников руководствовались одними и теми же признаками. Значит, астрономии человека учила сама жизненная необходимость!

— Ну теперь, — сказал Асимптотос, — вернемся еще к нашему сферическому треугольнику. Лучше сказать — к геометрии на сфере. Выясним, какие линии играют на сферической поверхности роль прямых. Архимед в сочинении «О шаре и цилиндре» вводит допущение, что прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками, откуда мы приходим к заключению, что «прямой» на сфере будет дуга большого круга, то есть такого круга, который получится при сечении сферы плоскостью, проходящей через центр сферы. Если это так, то очевидно, что на сфере не может быть параллельных «прямых», ибо две «прямые» обязательно пересекаются в двух точках (как меридианы на полюсах). Площадь треугольника на сфере тем больше, чем более превышает сумма его углов плоскостную меру, то есть два прямых угла. Что касается до «прямых» на сфере, то это очень просто можно проверить на глобусе при помощи резиновой нитки. Попробуй-ка на глобусе поехать по тридцать девятой параллели из Лиссабона в Нью-Йорк или из Иокогамы в Сан-Франциско.

— Обязательно попробую! — сказал Илюша.

— И хорошо сделаешь, — отвечал Радикс. — Знай, что это обстоятельство крайне затрудняет черчение географических карт на плоскости и что над разрешением вопроса о том, как начертить карту, чтобы искажение масштабов было наименьшим, работал крупнейший русский математик Пафнутий Львович Чебышев, живший в девятнадцатом веке, а также и ученики его. Я тебя вот еще о чем спрошу: если мы начертим какую-нибудь геометрическую фигуру на плоском листе бумаги, а потом изогнем этот кусок бумаги как-нибудь, то что сделается с теми линиями, которые у нас на плоскости были прямыми?

— Они уже не будут прямыми, — отвечал Илюша.

— Правильно, — согласился Коникос. — Но кратчайшими расстояниями среди линий, соединяющих две точки на поверхности и целиком лежащих на поверхности, они останутся. Такие линии называются геодезическими. Геодезическими на сфере, очевидно, являются большие круги.

— Самое интересное, — добавил Радикс, — это то, что на сфере совсем не может быть параллельных линий.

— Н-да, разумеется… — задумчиво и неопределенно про-

— 263 —

тянул Асимптотос. — Однако ведь у нас есть еще один необычайнейший треугольник. Сумма его углов не больше 2d и не равна 2d, а меньше двух прямых углов.

— Это уж что-то совсем непонятное! — сокрушенно заявил Илюша.

— Разумеется, — промолвил Радикс, — геометрия, в которой можно построить такой треугольник, есть тоже не-евклидова геометрия. Ее открыл и разработал великий русский геометр Николай Иванович Лобачевский, профессор Казанского университета. Он жил с тысяча семьсот девяносто третьего года по тысяча восемьсот пятьдесят шестой год. Его труды, опубликованные в тридцатых годах девятнадцатого столетия, были настолько поразительны и вели к таким необычным и неожиданным последствиям, что лишь немногие его современники могли понять и оценить эти труды.

— Надо тебе сказать, — продолжал вслед за другом Коникос, — что теорему Евклида, которая гласит, что сумма углов плоского треугольника равна двум прямым, можно вывести на основании одного из двух положений:

1) из одной точки можно провести только одну параллельную линию к данной линии или 2) всегда можно построить фигуру, подобную данной, но больше ее.

Таким образом, все эти положения тесно связаны друг с другом, так что если справедливо одно из них, то оправдываются и два других.

— Как это? — спросил Илюша.