Волшебный двурог

— Они самые! Вот поэтому-то при помощи шнура с двенадцатью узлами очень легко построить прямой угол, который нужен и землемеру и строителю. Египтяне знали это правило чуть не за три тысячи лет до вашей эры. У нас здесь есть тоже треугольник — некий волшебно-математический аппарат, который показывает, куда мы попали — в знакомую страну или в незнакомую, где евклидовы и пифагоровы правила не годятся.

— Я как будто догадываюсь. Этот аппарат проверяет, плоская эта поверхность или нет?

— Он не только это проверяет, он еще указывает, далеко ли отклоняется от плоскости данная поверхность и как именно она это делает. А стоит тебе это узнать, и ты сейчас же сообразишь, какая там геометрия годится. Вот и все.

Илюша осмотрел ап-

— 268 —

парат, который представлял собой прямоугольный треугольник, сделанный из оловянного листа, а сбоку был циферблат со стрелкой. В середине стояла большая буква «Е», и на нее указывала стрелка. С одной стороны было написано «Положительная кривизна», а с другой — «Отрицательная кривизна».

Когда Илюша приложил аппаратик к сфере, тот немедленно ответил: «Положительная кривизна». Когда же он приложил аппаратик к стене, то стрелка осталась стоять против буквы «Е», а буква «Е», конечно, напомнила об Евклиде.

— А это что значит? — спросил Илюша. — Ты, Радикс, ведь говорил, что если взять очень большой шар, то там геометрия будет почти такая же, как евклидова.

Значит, чем меньше я буду брать шар, тем будет «более кривая» поверхность с точки зрения этого аппаратика?

— Правильно! — отвечал Радикс. — Если, например, ты на поверхности земного шара будешь брать треугольник со сторонами менее ста километров, ты можешь смело считать его совершенно плоским.

— Ну, а что может значить «отрицательная» кривизна?

Асимптотос с сомнением покачал головой и принес две кривые: одна была эллипсом, другая гиперболой.

— Наша Центрифуга есть поистине дивный аппарат для получения поверхностей вращения.

Затем он взял эллипс и прикрепил его вдоль и посредине (то есть по его большой оси — смотри на картинке!) к стержню, пустил в ход Центрифугу, а потом сиял получившееся тело со стержня.

— Это эллипсоид вращения, — объяснил он.

Эллипсоид вращения

— 269 —

Тут он взял две ветви гиперболы и повесил их симметрично в воздухе на равных расстояниях от стержня.

— Простите, пожалуйста! — взмолился Илюша. — Вот когда вы снимаете с Центрифуги конус или эллипсоид, которые, собственно, состоят из ничего, и ставите на пол, ведь это волшебство?

— Мы все друзья и слуги ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА! — отвечал Асимптотос, торжественно подняв ввысь палец.

— А когда вы вешаете эти кривые в воздухе, это тоже волшебство?

— Не совсем! Я прикрепляю гиперболу к стержню при помощи со мнимой оси. Ну, а так как она мнимая, то ее, разумеется, довольно плохо видно. Вот и все! Если мы рассекаем два конуса с общей вершиной, мы получаем две ветви гиперболы.

Они симметричны в двух направлениях. Во-первых, они симметричны относительно действительной, или вещественной, оси гиперболы, параллельной оси нашего конуса. А во-вторых, они симметричны относительно воображаемой линии, перпендикулярной к оси конуса. Эта линия называется мнимой осью гиперболы. Вот я ее и надел на стержень.

Затем Асимптотос пу-

— 270 —

стил в ход быстролетную Центрифугу. Вскоре из двух ветвей гиперболы образовалась поверхность вращения, средняя часть которой представляла собой кольцо с загибающимися краями.

— Это однополостный гиперболоид вращения.

Однополостный гиперболоид вращения.

Если бы мы вращали гиперболу по вещественной оси, мы получили бы двуполостный гиперболоид, то есть две отдельные чаши. Ну, теперь все.

Он поставил гиперболоид на пол рядом с эллипсоидом.

— Начнем с эллипсоида. Замечаешь ли ты, что в длину он согнут не так, как в ширину? Ясно, что и в ширину он в сечении даст круг, но дело в том, что в длину, то есть по своей большой оси, если мы будем рассматривать точку над самой ее серединой, он гнется не так сильно, как гнется в том же месте по направлению малой оси.

— Конечно! — отвечал Илюша.

— Следовательно, в одном направлении у него одна кривизна, в другом — другая. Теперь я разрежу эллипсоид пополам и возьму два круга — один побольше, другой поменьше.

Асимптотос разрезал эллипсоид вдоль. Оказалось, что он внутри совершенно пустой. Получилось такое эллиптическое корытце, вроде половинки скорлупы фисташкового ореха, если бы, конечно, орех был в точности симметричен.

— Смотри! — сказал Коникос. — Маленький круг я могу в него вставить и по направлению малой оси и по направлению большой. Маленький круг совпадает с сечением эллипсоида по малой оси и измеряет его кривизну в этом направлении.