Волшебный двурог

А большой круг по малой оси в это эллиптическое корытце не влезает, но зато он очень хорошо входит в корытце по большой оси. Конечно, круг не совпадает с сечением по большой оси, ибо это сечение есть эллипс, а не круг, но он соприкасается с этим сечением как только возможно тесно. Этот круг измеряет кривизну эллипсоида по большой оси, однако только в данной точке. Ясно, что круги становятся друг к другу перпендикулярно, потому что ведь и сами оси перпендикулярны.

Самое важное в этом случае то, что центры обоих кругов находятся с одной и той же вогнутой стороны эллипсоида. Понял? Вот когда центры кругов, измеряющих кривизну, оказываются с одной стороны поверхности, то такая кривизна

Центры кругов кривизны находятся по одну сторону поверхности — положительная кривизна.

— 271 —

называется положительной.

Откуда идут эти названия, сразу не расскажешь, и на этих тонкостях я останавливаться не буду. А теперь перейдем к гиперболоиду.

Асимптотос разрезал и гиперболоид вдоль.

Получились две седлообразные поверхности, похожие на горный перевал.

— Смотри внимательно! — сказал Асимптотос. — Я беру снова среднюю точку и буду измерять кривизну опять теми же кругами и по таким же двум взаимно перпендикулярным осям.

Когда Асимптотос начал приставлять круги к этой седлообразной поверхности, то оказалось, что эта поверхность в продольном направлении вогнутая, а в поперечном — выпуклая.

Поэтому центр большого круга оказался вне гиперболоида, а центр маленького — по другую сторону поверхности гиперболоида. Центры кругов оказались с разных сторон поверхности.

Центры кругов кривизны находятся с разных сторон поверхности — отрицательная кривизна.

— Ну вот! — сказал Асимптотос. — Когда центры кругов кривизны оказываются с разных сторон поверхности, то это и называется отрицательной кривизной. Геометрия Лобачевского осуществима только на поверхности с отрицательной кривизной. Однако слушай далее внимательно, ибо это еще не все. Сфера имеет во всех своих точках одну и ту же кривизну. Мы говорим, что эта поверхность постоянной положительной кривизны. Ясно, что хотя эллипсоид имеет тоже положительную кривизну, но она отнюдь не постоянна. Однополостный гиперболоид, наоборот, имеет отрицательную, но тоже непостоянную кривизну. Спрашивается: имеются ли поверхности постоянной отрицательной кривизны? Такие поверхности были открыты еще до Бельтрами. Отличительной особенностью поверхностей постоянной кривизны является то, что кусок такой поверхности может скользить по ней самой без разрывов и сжатий, как футляр шара по поверхности шара или кусочек бумаги по гладкой поверхности стола либо цилиндрической колонны. Важнейшее открытие Бельтрами состояло вот в чем: он обнаружил, что треугольники, сторонами которых являются кратчайшие линии на поверхности постоянной отрицательной кривизны, подчиняются «воображаемой» геометрии Лобачевского. Таким образом, выяснилось, что плоская геометрия Лобачевского осуществляется на одной из простейших поверхностей с постоянной отрицательной кривизной (именно такой поверхностью и является псевдосфера), и тогда уже не оста-

— 272 —

валось больше никаких сомнений в том, что в этой геометрии, как и в геометрии Евклида, нам нечего бояться противоречий.

— Ну, как Илюша? — сочувственно спросил Радикс. — Способен ли ты после этого соображать дальше или нет?

— Сейчас! — ответил Илюша. — Я только еще попробую.

Мальчик взял волшебно-математический аппаратик, измеряющий кривизну, и как только он приложил оловянный листик к поверхности гиперболоида, немедленно стрелка аппаратика пошла от буквы «Е» в другую сторону — это была самая настоящая отрицательная кривизна.

— Ясно? — спросил Коникос.

Илюша кивнул и сказал:

— Трудновато. Но мне кажется, я все-таки кое-что понял. А теперь я хочу наконец про Архимеда послушать!

— Ну что ж! — раздумчиво промолвил Коникос. — Теперь-то, пожалуй, уж можно… Да, постой-ка! Я вот еще что хотел тебе сказать, чтобы ты не забыл. Дело в том, что наш эллипсоид вращения можно еще сжать сверху вниз так, чтобы его круглое сечение тоже обратилось из круга в эллипс. И тогда из эллипсоида вращения получится трехосный эллипсоид, у которого все три оси но всем трем измерениям, то есть и в длину, и в ширину, и в вышину, разные или по крайней мере могут быть разные. Ясно, что как ни рассекай его по всем этим трем перпендикулярным направлениям, в сечении получишь эллипс. Например, кусочек туалетного мыла, который в просторечии нередко называют обмылочком, обычно как раз и имеет форму трехосного эллипсоида! Или морские камушки, обкатанные морскими волнами…

Трехосный эллипсоид.

— Как хорошо, — сказал Илюша, — что все эти ваши математические чудеса так легко встретить! Подумаешь, какое чудо обмылочек, а оказывается, он родственник самим коническим сечениям! (А про себя подумал: «Вот, значит, почему этот козлоногий человечек с флейтами говорил о морских камушках!») Постойте-ка, — продолжал он, — вы мне обещали показать, как делается псевдосфера.