Волшебный двурог

— В проигрывателе пластинка вращается. Но в нашем опыте мы ее оставим неподвижной, а в центре укрепим отрезок прямой и, пользуясь нашими волшебными возможностями, прикажем отрезку: вращайся вокруг этой средней точки против часовой стрелки (это направление мы будем считать положительным), но при этом увеличивайся в длине в соответствии с углом, на который ты повернулся. Чтобы нам удобней отсчитывать вращение отрезка, мы направо от точки в середине проведем горизонтальную прямую и назовем ее полярной осью. Пока отрезок — радиус-вектор — будет еще лежать на полярной оси, угол его с ней равен нулю, а затем он будет увеличиваться. Итак, вперед!

Тотчас в полутьме возникло все, что заказал Радикс: в середине светилась оранжевая точка, а от нее направо шла ро—

— 314 —

зовая полярная ось. Что-то очень маленькое лежало на этой оси…

— А, Мнимий Радиксович! Мое почтение! — воскликнул Илюша.

И Мнимий, возникший из средней точки, стал вращаться, постепенно вырастая, и своим кончиком чертить спираль Архимеда. Описав несколько витков, Мнимий исчез, а спираль так и осталась висеть в воздухе.

— Эта спираль, — сказал Коникос, — умеет делить как угодно любые углы. А с ее помощью Архимед даже построил очень точно длину, окружности.

— Длину окружности? — воскликнул Илюша. — Да ведь это что-то вроде квадратуры круга! Разве это можно?

— Для такой умницы спирали оказалось возможным, — произнес Коникос[25].

— Так вот каким образом греки, решая геометрические задачи, пришли, во-первых, к новым основаниям для геометрических суждений и убедились до некоторой степени, что геометрия не такова, какой они себе ее представляли; во-вторых, они пришли к новым кривым, неизвестным египетским вервиетягателям, о которых вспоминал Демокрит. Именно его атомистическая теория, кстати сказать, и привела к новым удивительнейшим открытиям в математике.

— Как же это так? — спросил Илюша. — Ведь атомы — это касается физики и химии. А при чем здесь математика?

— Мы уже говорили о том, как связана математика с изучением природы, поэтому вполне естественно, что человек, который пришел к убеждению, что весь мир состоит из атомов, начинает думать и о том, что геометрические образы, то

— 315 —

есть кривые, площади, объемы, тоже как бы составлены из некоторых элементарных частиц. Кроме того, в таком деле играет очень большую роль опыт. В одном своем сочинении Архимед рассказывает, что Демокрит нашел объем конуса и показал, что его объем равен одной трети объема цилиндра с тем же основанием и той же высотой. Проверить это на практике, то есть путем опыта, ровно ничего не составляет. Любой слесарь сделает тебе цилиндр, то есть ведерко, и конус. Налей в ведерко воды, смеряй конусом, сколько ее там, и найдешь это соотношение. Вот что говорит тебе опыт. Если не поверишь первому опыту, можешь повторить его, сделав цилиндр и конус, например, с другим основанием. И снова ты убедишься, что соотношение это правильно. Необходимо только найти логический способ, которым можно это доказать без участия слесаря.

— Значит, Демокрит раньше теоремы своей уже знал это решение? — спросил заинтересованный Илюша.

— Возможно, что и так. Возможно и обратное. Может быть, он сперва вывел свою теорему, а потом проверил ее на опыте. Но еще более вероятно, что он узнал ее от слесаря, кузнеца или медника, которые благодаря своему ремеслу сталкивались с такого рода соотношениями уже не раз. Кстати сказать, теорема эта была доказана со всей необходимой строгостью гораздо позже Демокрита. Весь вопрос заключался в том, чтобы вывести это — такое простое на вид — соотношение теоретически. И я не знаю, с чего начал Демокрит: атомистическая ли теория привела его к этому решению или это решение привело его к мысли об атомах.

— Как это интересно! — воскликнул Илюша. — Значит, у них и физика, и философия, и геометрия — все было вместе?

— Конечно. Над входом в одну греческую академию было написано: «Да не входит сюда никто, кто не знает геометрии!»

— А как Демокрит решил эту задачу?

— Решил он ее вот как. Он предположил, что конус можно весь разрезать на очень тоненькие кружочки, если резать параллельно основанию, то есть на цилиндрики с очень малой высотой. Правило, по которому изменяется диаметр кружков, вывести не очень трудно. Мы этого пока еще делать не будем, так как сейчас речь не о выводе формулы, а о способе рассуждения, с помощью которого ее можно вывести. Теперь допустим, что цилиндриков не только очень много и толщина их ничтожно мала, но что число их безгранично увеличивается, а толщина тем же порядком уменьшается. Конус заменяется ступенчатой фигурой из кружков. Конечно, это ступенчатое тело не есть конус, но чем дальше я буду уменьшать толщину кружков, которых будет накопляться все больше и больше,

— 316 —

тем меньше это ступенчатое тело будет отличаться от конуса.