Волшебный двурог

— Так вот, допустим, что надо умножить четыре на шестнадцать. По правилу сложения степеней, так как четыре — это два в квадрате, а шестнадцать — это два в четвертой степени, просто можно сложить эти показатели. Складывая два и четыре получаем шесть, а два в шестой степени есть шестьдесят четыре. Так как есть таблица, то нет необходимости вычислять, чему равно два в шестой степени, а просто надо найти то число, которое стоит во втором столбце рядом с цифрой «шесть» из первого столбца. Следовательно, теперь можно вместо умножения складывать. Ты находишь во втором столбце свои множители. Потом выписываешь соответственные им числа из первого столбца, складываешь их, а получив сумму, смотришь, какое число во втором столбце соответствует этой сумме. Ну-ка, попробуй сам!

— 362 —

— Сейчас, — сказал Илюша. — Я буду множить 2048 на шестнадцать. Двум тысячам сорока восьми соответствует и первом столбце одиннадцать, шестнадцати соответствует в первом столбце четыре. Надо, следовательно, сложить одиннадцать и четыре. Получаю пятнадцать. Ищу пятнадцать в первом столбце, а рядом нахожу во втором столбце ответ — 32768. Проверяю умножением… Совершенно верно!

— Ну вот это и есть принцип логарифмов. Сложение заменяет умножение, вычитание заменяет деление…

— А! Как со степенями! — воскликнул Илюша. — Значит, чтобы возвести в степень, надо умножить, а чтобы извлечь корень — разделить. Я попробую! Во-первых, деление. Например, нужно разделить 524288 на 4096. Значит, я должен вычесть из девятнадцати двенадцать. Получается семь, то есть выходит в результате деления сто двадцать восемь. Ну-ка, попробуем на бумажке. Так и есть! Теперь, во-вторых, я хочу возвести шестьдесят четыре в квадрат. Значит, надо шесть умножить на два. Получаю двенадцать, окончательный результат по таблице — 4096. Проверим!.. Точно! Теперь, в-третьих, из 65 536 я извлекаю квадратный корень. Значит, придется шестнадцать разделить на два. Получаю восемь. Выходит двести пятьдесят шесть. Ну-ка, я проверю!

Повозившись немного, Илюша извлек корень и сказал:

— Да, вот уж с корнем-то ясно, какая получается значительная экономия времени! А тут разделил на два — и все. А если надо кубический корень извлечь? С кубическим совсем заплачешь… Впрочем, постой-ка! Ведь с этой табличкой можно, наверно, и кубический корень попробовать извлечь. Если я возьму, например, число 262144 и извлеку из него кубический корень?.. Значит, нужно восемнадцать разделить на три. Получаю шесть. А шести соответствует число шестьдесят четыре. Проверим! Шестьдесят четыре в квадрате, как я уже выяснил, равняется 4096. Ну, а если я умножу это число еще раз на шестьдесят четыре?.. Совершенно верно. Ведь так можно, пожалуй, и четвертой степени корень извлечь? Правильно? Извлекаю корень четвертой степени из числа 1 048 576… и получаю тридцать два. А ну-ка, проверим! Тридцать два в квадрате будет 1024, а 1 024 в квадрате — 1048576. Да это замечательный способ! А что такое основание логарифмов?

— В нашей табличке основанием будет два. Это то число, степень которого ты видишь во втором столбце. Общий принцип сопоставления двух прогрессий, арифметической и геометрической, был известен еще Архимеду. Это, конечно, не значит, что Архимед представлял себе смысл логарифмов, но для математиков нового времени его замечания могли иметь известное значение.

— 363 —

— Теперь я понимаю, что значит эта фраза: «Логарифм какого-нибудь числа есть показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить это число». В нашей табличке основание есть двойка, первый столбец — это логарифмы, а второй — числа. Ну, а чем же отличаются настоящие таблицы логарифмов от этой?

— Только тем, что у них основание не два, а десять.

— Так это очень просто! — вскричал Илюша.

— Несложно, если не считать того, что во втором столбце стоят не только точные степени десяти, но и все промежуточные числа, — отвечал Радикс. — А записываем мы это так:

log₂32 = 5,

то есть: «Логарифм тридцати двух при основании два равен пяти». А при основании десять тот же самый логарифм будет равен:

1,50514997831990597607,

с точностью до девятнадцатой цифры после запятой.

— А можно перейти от одного основания к другому? — спросил Илюша.

— Это нетрудно, — отвечал Радикс. — Если ты разделишь двоичный логарифм на десятичный логарифм, то получишь так называемый модуль перехода, с помощью умножения на который из любого десятичного логарифма получишь двоичный. В данном случае этот модуль будет примерно равен 3,3219. Вывести общее правило для получения модуля перехода тоже дело нехитрое. Раз ты умеешь из старого основания а получать любое число, то задача, очевидно, сводится к тому, чтобы из нового основания b получить старое основание а.

Но для этого новое основаниеb надо возвысить в степень с показателем…

— Логарифм a при основании b, — отвечал Илюша.

— Правильно. Значит, если возвести новое основание в степень log_ba, то будет а. Ну, а если нужно получить какое-нибудь число N, в какую степень ты должен возвысить полученное число а?