Волшебный двурог

— Так вот, если теперь мы извлекаем из единичного комплексного числа корень, скажем, второй степени, то возьмем это комплексное число в двух написаниях, то есть:

I) cos φ + i sin φ,

II) cos (φ + 2π) + i sin (φ + 2π),

и из каждого извлечем квадратный корень путем деления его аргумента на два. Если мы это проделаем с тем же самым комплексным числом, то будем иметь:

I) cos 90° + i sin 90°,

II) cos 450° + i sin 450°.

Прибавлять еще по 2π здесь, как вы увидите, уже нет смысла, так как новых результатов не получится. Рассмотрим, что выйдет при делении угла пополам. Во-первых, мы получили тот же единичный вектор с углом в сорок пять градусов, который уже видели, а кроме того, еще получился другой вектор с аргументом

— 404 —

в двести двадцать пять градусов. Это и есть второе значение корня. Заметьте, что эти два вектора делят окружность пополам. Ну вот, теперь все ясно, и мы можем приступить к нашей работе.

Этот круг единичного радиуса для изготовления нашей Златоиссеченной Звезды надлежит разделить на пять частей. Это все равно, что решить уравнение

х⁵ — 1 = 0

или найти все пять корней пятой степени из единицы. Мы уже решали при прошлой нашей встрече в Схолии Седьмой нечто в этом роде, разлагая на множители разность кубов x³ — 1. Приступая к извлечению всех корней пятой степени из единицы, мы попросим нашего друга Вектора нам их найти.

Ну-ка! Против часовой стрелки кругом марш!

Вектор стал сперва на нуль, затем повернулся и стал примерно на половине второго квадранта круга. Потом начал поворачиваться далее и остановился в начале четвертого квадранта. Затем двинулся снова вперед и остановился в первом квадранте. Двинулся еще раз и остановился в третьем квадранте.

— Трудно понять! — сказал со вздохом Илюша.

— Не так уж трудно, — отвечал Мнимий Радиксовнч. — Стоит для этого только рассмотреть, как меняется наш аргумент. Он будет:

φ = 0; 2π; 4π; 6π; 8π,

то есть мы прибавляем к нулю четыре раза по 2π, или по триста шестьдесят градусов. А теперь какие векторы получатся после деления аргумента? А вот они:

I) cos 0° + i sin 0° (φ = 0°)

II) cos 2/5π + i sin 2/5π (φ = 144°)

III) cos 4/5π + i sin 4/5π (φ = 288°)

IV) cos 6/5π + i sin 6/5π (φ = 432°)

V) cos 8/5π + i sin 8/5π (φ = 576°)

— 405 —

Очевидно, что углы их будут: 0°, 72°, 144°, 216° и 288°. Мы попросим теперь Вектора повторить его путешествие по кругу и останавливаться каждый раз у всякого деления.

Вектор исполнил все, что ему велели. При этом вместо одного вектора их оказалось пять. Окружность была разделена ровно на пять частей.

— Теперь проведем прямые! — сказал Мнимий.

Он соединил точки прямыми, и получился правильный пятиугольник, вписанный в круг. Тут Илюша вспомнил, как ему говорили, что если разложить разность кубов на три множителя, то тем самым выяснится, как вписать треугольник в круг. Вот, оказывается, в чем дело!

— Кстати, — добавил с мягкой улыбкой Мнимий, — заметьте, что именно великий Гаусс указал и нашел, что такое деление круга связано с построением правильных многоугольников!

— Вон как! Это, значит, важное дело?

— А как вы думаете! — рассмеялся Мнимий. — Однако, — произнес он, осмотрев еще раз свой чертеж. — Пожалуй, придется немного увеличить, да надо еще наш пятиугольник повернуть, чтобы и он стал симметрично. Ну-ка, ребятки-векторы, увеличьтесь разика в два с половиной да, кстати, повернитесь на восемнадцать градусов!

Немедленно все пять векторов вытянулись и стали длиннее в два с половиной раза. Вместе с ними, конечно, увеличился пятиугольник и повернулся на 18°. В то же мгновение «Круг № 1» стал «кругом № 2».

— Это, — пояснил Радикс, — тоже умножение, притом на комплексное число, модуль которого 2,5, а аргумент — восемнадцать градусов. Комплексные числа могут, таким образом, делать еще и преобразования подобия.

— Совершенно справедливо! — отвечал Мнимий. — Преобразования подобия — это, можно сказать, наша специальность. Помните ли вы сказку Шарля Перро про Кота в сапогах? Так вот, дело там кончается тем, что Людоед-Чародей обращается во льва, а потом в мышь, а Кот в сапогах бросается на мышь, и тут-то ей и конец. Помните?

— Ну да, помню, — отвечал Илюша. — А что?

— Неужели вы не догадались, что это мы действовали в этом случае и провели Перро?

— Как так?

— 406 —

— Очень просто! Никакой там мыши не было. Подумайте, какая канитель — превращать, то есть преобразовывать, льва в мышь! Мы поступили гораздо проще: просто подобно уменьшили льва до размеров мыши, и вот этого-то подобно преобразованного льва и загрыз Кот в сапогах. А так как все произошло очень быстро, то и возникла эта легенда о мыши.

— Вот как?.. — задумчиво произнес сбитый с толку Илюша. — А если наоборот, из мыши сделать льва?

— Вон чего захотели! — засмеялся Мнимий. — Это будет немного потруднее. Сам Галилей это признал. Дело в том, что если мышь подобно преобразить в такого большого зверя, как лев, то она… сломается! Ее тонкие косточки не выдержат тяжелого веса. Механическое подобие — вещь совсем не простая… Ну, а теперь приступим к сооружению Златоиссеченной Звезды. Соединим прямыми противолежащие точки.