Волшебный двурог

Когда Мнимий начертил это, то в круге получился звездчатый пятиугольник. И все векторы исчезли.

— Позвольте, — воскликнул Илюша, — да ведь это наша Красная Звезда!

— Она же и Золотая, — улыбаясь, ответил Мнимий.

— Ну да, и Золотая! Но вы-то почему ее называете Златоиссеченной?

— Для этого, — ответил Мнимий, — у нас имеются серьезные причины. Если мы рассмотрим нашу звезду повнимательнее, то найдем в ней немало вещей, в высшей степени глубоких и поучительных.

Мнимий расставил буквы у углов и получил чертеж, который нарисован на этой странице.

— Если мы возьмем одну из прямых, — начал Мнимий, — составляющих наш звездчатый пятиугольник, например прямую BGFE, то ясно из чертежа, что отрезки BG и FE равны между собой, ибо треугольники BGA и AFE равны. Теперь мы назовем каждый из этих отрезков буквой у, а отрезок KF буквой z. Очевидно, что и остальные схожие отрезки таковы же, то есть GA, FA, FE, КЕ, ID, IС, … , и все они

— 407 —

равны у. Совершенно так же FG, KI, IH… равны z. Ясно, что треугольник GAF равнобедренный. Угол при вершине А ранен одной пятой ста восьмидесяти градусов, так как он вписанный и опирается на дугу, равную одной пятой окружности. Ясно?

— Ясно, — отвечал Илюша.

— Следовательно, в этом углу ровно тридцать шесть градусов. Другие два угла треугольника равны друг другу и, следовательно, будут по семьдесят два градуса, то есть вдвое больше угла при вершине А. Стало быть, величины у и z суть боковая сторона и основание равнобедренного треугольника, у которого угол при основании вдвое больше угла при вершине. Теперь мы займемся треугольником BFA. Угол при вершине F нам известен: он равен семидесяти двум градусам. Угол при вершине В по тем же основаниям, что и угол A в треугольнике GAF, равен тридцати шести градусам. Угол треугольника BFA при вершине А равен семидесяти двум градусам, ибо это вписанный угол и опирается на дугу в дне пятых окружности. Ясно, что и этот треугольник тоже равнобедренный, а в силу равенства углов подобен предыдущему. Сторона BF равна (z + у), а следовательно, сторона АВ тоже равна (z + y), а это ведь сторона выпуклого пятиугольника. Теперь возьмем третий треугольник — ABD. Угол при вершине D равен снова тридцати шести градусам. Треугольник этот тоже равнобедренный и подобен двум предыдущим. Его боковая сторона равна (2y + z), основание равно (у + z). Из этих величин и подобия треугольников мы получаем теперь следующие пропорции:

(y + z) / ( 2у + z) = y / (y + z) = z / у

Пусть каждое из этих отношений равно х. Все ясно?

— Да, — ответил Илюша. — Треугольники подобны, а как получаются пропорции, я понял. Везде взято отношение основания к боковой стороне. Так как треугольники подобны, то отношение это во всех случаях одно и то же.

— Если мы теперь посмотрим на прямую BF, которая равна (у + z), то заметим, что точка G делит этот отрезок так, что весь отрезок относится к большей своей части, как относится большая часть к меньшей. Это деление и называется со времен глубокой древности золотым сечением.

— Ах, так вот почему вы ее называете Златоиссеченной! — вскричал Илюша.

— Именно поэтому! Но если у вас хватит терпения, то я могу вам еще рассказать насчет этой звезды немало интересного. Ибо это еще не все.

— 408 —

— Рассказывайте, — попросил Илюша. — Ведь сколько раз я ее видел, и даже в голову не пришло, что наша Красная Звезда такая знаменитая в геометрическом мире.

— Так вот, слушайте дальше. Если мы впишем в круг правильный выпуклый десятиугольник, то его сторона будет равна нашей величине х, помноженной на радиус большого круга, потому что если мы соединим концы одной из сторон десятиугольника с центром круга, то получим равнобедренный треугольник, угол при вершине которого, очевидно, равен тридцати шести градусам, то есть десятой части всей окружности. Боковые стороны равны радиусу описанного круга,

— 409 —

а основание — стороне десятиугольника. Следовательно, углы при основании будут иметь по семьдесят два градуса, и этот треугольник будет подобен только что рассмотренным. А если это так, то, следовательно, отношение стороны десятиугольника к радиусу снова равно тому же х. Ну, а теперь я посоветую вам, юноша, проделать еще кое-что своими собственными силами для того, чтобы ознакомиться поближе с Златоиссеченной Звездой. Согласны ли вы на это?

— Ну еще бы! — воскликнул Илюша. — Вполне согласен.

— Тогда вот что. Опишите круг около маленького пятиугольничка FGHIK (чертеж на странице 407) и найдите, как относится его радиус OG = r к радиусу большого круга OB = R.

Далее проведите прямые ВК и OG и из двух новых треугольников BKI и BGO попробуйте получить вот такое равенство:

R² + R²x² = (y + z)²

Что означает это равенство? Ясно, что R есть, во-первых, радиус описанного вокруг пятиугольника круга, а во-вторых, сторона вписанного шестиугольника. Поскольку мы ранее выяснили, что сторона правильного десятиугольника так относится к радиусу, как z к у, то, следовательно, эта сторона есть Rx.