Волшебный двурог

Рассмотри, сколько надо сделать обходов. Ты увидишь, что обходов надо столько, сколько пар нечетных узлов имеется в фигуре. Это вполне естественно. Вот тебе еще задачка. Возьмем твой первый чертеж — два ромба, соединенных прямой (эту соединительную прямую в фигуре мы называем мостом). Теперь разорвем наш мост посредине. Подумай над таким вопросом: давай заполним разрыв моста какой-нибудь фигурой, то есть вставим в уникурсальную фигуру с двумя нечетными узлами еще одну связную фигуру, и разберемся, какую фигуру и как можно вставить. Только с четными узлами или с двумя

— 62 —

Мост цел.

Мост разорван

нечетными (стр. 65)? Это особенная геометрия. Она называется геометрия положения или топология. Вот тебе, кстати, прекрасная фигурка. Попробуй нарисовать ее одним росчерком. Ее придумал когда-то геометр Листинг.

Фигура Листинга.

— Так, значит, — сказал Илюша, — на свете есть не одна геометрия? Не только та, которую мы учим в школе?

— Далеко не одна.

— А почему этот ваш командор еще и Кандидат Тупиковых Наук? Что это за науки?

— Ну, в лабиринте ты видел немало тупиков. Это они самые.

— А почему он Магистр Деревьев?

— Если из твоего первого чертежа с двумя ромбами я уберу мост, система путей потеряет связность, будет опять два отдельных ромба — и все. Линию, которая соединяет два узла, мы называем путем, а если путь имеет то свойство, что при удалении его система теряет связность и распадается, то мы такой путь и называем мостом. Может существовать система, состоящая только из тупиков и мостов.

Такая система называется деревом. В ней ни одного пути, который можно

— 63 —

было бы удалить без того, чтобы система не распалась. Ну, а теперь давай подумаем, нет ли чего-нибудь общего между двумя такими задачами: нарисовать уникурсальную фигуру одним росчерком и обойти лабиринт, у которого только один вход. Ты, я думаю, понимаешь, что любой лабиринт можно считать лабиринтом с одним входом, потому что всякий лабиринт мы всегда можем «обнести» еще одним «забором».

— Уж не знаю, — вымолвил не сразу Илюша. — Правда, быть может, если начертить план лабиринта не так, как мы его чертили до сих пор, а изображать линиями не стенки, а самые пути, как раз и получится такая фигура, которую нужно обойти или начертить…

— Постой, постой минуточку! — прервал Радикс его рассуждения. — А как ты полагаешь, нужно ли в таком случае вычерчивать точный план путей?

— Я должен быть точен в том смысле, чтобы на плане было то число перекрестков, какое есть на самом деле, и то же самое относительно путей между ними. А как именно я нарисую самые пути — это неважно, лишь бы не спутаться, куда какой из них ведет.

— Правильно, — резюмировал его собеседник. — Следовательно, вообще можно сказать, что ты интересуешься топологической схемой путей. Если ты представишь себе, что линии путей изображены нитками, которые связаны в узлах-перекрестках, то можешь как угодно деформировать, или видоизменять, «сетку путей» — топологическая схема останется не-

— 64 —

изменной. Ты только не должен рвать нитки, развязывать узлы или завязывать новые. Ну, а как же все-таки начертить такую фигуру?

В фигуру вставлен еще один ромб.

А теперь ромб вставлен по-другому.

— А вот тут, — признался Илюша, — я затрудняюсь: ведь в лабиринте может быть сколько хочешь всяких тройных и вообще нечетных перекрестков, то есть узлов… Как же с этим быть?

— Вот то-то и дело! — отвечал Радикс. — Это значит, что далеко не все лабиринты можно обойти, если ты решишь идти по каждому коридору только один раз. Но ведь это совсем не обязательно…

— Ну конечно! — радостно воскликнул Илюша. — Это как с моим тупиком, то есть я должен пройти именно по два раза по каждому коридору. Значит, и на чертеже лучше всего изобразить каждый коридор двумя линиями. А после этого все нечетные узлы станут четными, потому что они удвоятся: тройной, например, станет шестерным и так далее. И весь план лабиринта превратится в фигуру, у которой есть только одни четные узлы. А такую фигуру, как мы уже доказали, можно нарисовать одним росчерком.

Стало быть, всякий лабиринт можно обойти, проходя два раза по каждому из его коридоров. Вот это действительно замечательное доказательство!

— Нет сомнений, что это действительно доказательство, по только это еще не решение задачи лабиринта. И вот почему. Когда ты чертишь фигуру, тебе необходимо видеть ее всю, а иначе нельзя установить, правильно ли ты идешь и сохраняешь ли все время ее связ-

— 65 —

ность. В лабиринте совсем иное дело: там плана нет и ты не знаешь, каков он в целом, а значит, надо придумать такое правило для его обхода, которое дало бы возможность обойти любой лабиринт, не зная заранее, каковы его нескончаемые коридоры.

— Да, это правда, — согласился Илюша. — Только как?

— Ты что-то толковал насчет правила правой руки? — услышал он в ответ. — А теперь что ты о нем скажешь?