Волшебный двурог

— Конечно, если наши p и q будут оба нечетные, то наши индусские числа неизбежно будут иметь общий множитель, равный двум. Проверьте, коли не поленитесь! Впрочем… Этими числами даже в древнем Вавилоне занимались! Сохранились таблетки с росписями.

Илюша тщательно проверил вычисления и убедился, что лектор прав.

— Теперь я скажу вам еще несколько слов о судьбе Великой Теоремы. Видите ли, это началось с того, что в семнадцатом веке один из крупнейших математиков всех времен, Пьер Ферма, однажды, читая своего любимого автора — древнего математика Диофанта, записал на полях этой книги свою теорему, о которой мы только что говорили. А записав ее, он добавил следующие слова: «Я нашел поистине удивительное доказательство этой теоремы, но на полях книги слишком мало места, и оно здесь не упишется». И вот с тех пор математики всего мира триста лет бьются и не могут найти это доказательство. Один крупнейший математик, Леонард Эйлер, тот самый, кто впервые обозначил отношение окружности к диаметру греческой буквой π, доказал, что для третьей и четвертой степени теорема Ферма правильна. Но надо вам сказать, что уже для третьей степени его доказательство вводит понятия более сложные, чем те, которые были известны математикам во времена Ферма. В частности, он должен был в этом случае прибегнуть к нашей помощи, то есть к помощи комплексных чисел, частным случаем которых являются обыкновенные числа. И мы ему, разумеется, в этом деле, как умели, помогли. Ведь если посмотреть на все это дело, как говорится, попросту, то легко можно сказать: зачем эти бедные комплексные чудачки возятся в этой башне с такими сложнейшими аппаратами? И все только для того, чтобы доказать, что некоторая задача не может быть решена? И триста лет математики бьются над задачей, от которой никому ни тепло ни холодно! Но это не совсем так. Уже Леонард Эйлер должен был вводить для этой задачи новые числа, то есть расширять понятие числа. А это великое дело. Ибо когда построена новая система чисел, то она работает уже не только для этой задачи, а для всех математиков и для всех проблем. А когда за эту задачу взялся математик Куммер, по имени коего и наш главный аппарат, как вы знаете, называется куммерскопом, то он построил целую теорию, где было очень много нового. И при помощи этой новой теории он доказал нашу Великую Теорему сразу для всех тех показателей степени, которые вырезаны на камне над дверями нашей башни. Причем для трех чисел,

— 89 —

которые светятся над дверями особенно ярко, ему пришлось построить дополнительную теорию. Он расширил наши представления в области математики и дал нам совершенно новые аппараты, которые годятся для очень многих вопросов, в частности и для таких, которые задевают интересы инженеров и других практических деятелей. Я уже не говорю о том, что только благодаря Куммеру вы могли разглядеть на нашем экране Великую хотя бы по пояс. До Куммера можно было рассмотреть разве что бахрому ее мантильи, ибо теорема была доказана только для чисел 3, 5 и 7. В настоящее время теорема доказана вплоть до очень больших показателей степеней.

Вычисления для этого понадобились не шуточные! Чтобы вы могли себе составить представление о том, с какими громадными числами в таком случае приходится иметь дело, укажу, что если возвести число «два» в степень «семьсот», то в результате мы получим число, в котором будет двести с лишком знаков, а если возвести «три» в ту же степень, получим число, в котором будет более трехсот знаков. Я слышал, как вы недавно говорили, что септиллион кажется вам довольно внушительным числом, а ведь в нем всего-навсего только двадцать пять знаков! Вопросами такого рода занимается высшая арифметика, которая называется теорией чисел. Исследования в этой области раскрывают очень много серьезных проблем, с которыми приходится сталкиваться математику.

Вы знаете, что существуют иррациональные числа, как, например, √2, которые не могут быть выражены никаким конечным числом десятичных знаков. Но √2 может быть корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, например:

х² — 2 = 0.

Однако есть числа, еще более сложные по своему строению.

Таково, например, число π, которое мы называем трансцендентным числом. Оно уже не только не может быть выражено конечным числом десятичных знаков, но не может быть, кроме того, и корнем никакого алгебраического уравнения с целыми или вообще рациональными коэффициентами. И вот это в высшей степени важное его свойство и доказывается способами теории чисел. Кстати, когда наконец это доказательство было получено (а ведь это случилось не так давно, в конце девятнадцатого века), то тем самым был положен конец всем решительно попыткам найти квадратуру круга, то есть построить равновеликий данному кругу квадрат при помощи циркуля и линейки. Об этом, я думаю, вы слышали?

— 90 —

— Конечно, — отвечал Илюша.

— Так что с этой задачей, которая долгое время занимала умы людей просвещенных… (правда, к сожалению, не только просвещенных!), было покончено.