Восхождение человечества

По этому принципу создан не только окружающий нас мир природы, его соблюдают все строители от доисторических времен до наших дней: вавилоняне учитывали его, когда обустраивали висячие сады, египтяне закладывали его в основу проектов, которые создавали до возведения пирамид. То есть уже в древних культурах на практическом уровне было знание, что есть плотничий (прямоугольный) треугольник, в котором правят соотношения между числами. Вавилонские строители, вероятнее всего, уже с 2000 года до н. э. знали множество формул, индейцы и египтяне — несколько меньше. Египтяне, как кажется, почти всегда использовали треугольник с соотношениями сторон 3:4:5. Однако только в 550 году до н. э. Пифагор перевел это знание из мира эмпирики в мир того, что сегодня мы называем доказательством. То есть он задал вопрос: «Каким образом цифры, образующие этот плотничий треугольник, следуют из того факта, что прямой угол — это то, что можно повернуть четыре раза так, чтобы он указал в ту же сторону?»

Доказательство Пифагора, должно быть, выглядело следующим образом (оно заметно отличается от того, которое приведено в современных школьных учебниках). Четыре высшие точки — юг, запад, север, восток — треугольников, которые образуют крест компаса, — это углы квадрата. Я сдвигаю четыре треугольника таким образом, чтобы длинная сторона каждого заканчивалась на высшей точке соседнего. Теперь я построил квадрат по самой длинной стороне прямоугольных треугольников — по гипотенузе. Чтобы понять, что является частью замкнутой области, а что нет, я заполню маленький внутренний квадрат дополнительной плиткой. (Я использую плитки, поскольку многие узоры в Древнем Риме и на Востоке основаны на этом типе связи между математическим соотношением и размышлениями о природе.)

Теперь у нас есть квадрат на гипотенузе, и мы, конечно, можем это вычислить из квадратов катетов. Но так мы не увидим естественную структуру и сущность фигуры. Нам не нужны вычисления. Просто сыграем в детскую игру, и это откроет перед нами больше любых вычислений. Переместим два треугольника на новые позиции. Подвинем треугольник, указывающий на юг, так, чтобы его гипотенуза была рядом с гипотенузой треугольника, указывающего на север. И переместим треугольник, указывающий на восток, так, чтобы его гипотенуза была рядом с гипотенузой треугольника, указывающего на запад.

Теперь мы создали L-образную фигуру с той же площадью (естественно, ведь она составлена из тех же кусочков), чьи стороны в то же время — катеты прямоугольного треугольника. Теперь я положу делитель, который отделил конец L от верхней палочки. Очевидно, что конец — это квадрат катета треугольника, а вертикальная часть L — это квадрат гипотенузы.

Пифагор доказал общую теорему: не только для египетского треугольника 3:4:5 или любого из вавилонских треугольников, а для каждого треугольника с прямым углом. Он доказал, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, в том и только в том случае, если треугольник содержит прямой угол. Например, стороны 3:4:5 образуют прямоугольный треугольник потому, что:

5²=5x5=25=16+9=4x4+3x3=4²+З²

Это же правило действует и для вавилонского треугольника, длина сторон которого составляет от 8:15:17 до 3367:3456:4825. Без сомнения, это означает, что вавилоняне хорошо знали арифметику.

Пифагор доказал общую теорему не только для египетского треугольника с соотношением сторон 3:4:5, но и для любого другого, имеющего прямой угол.

Две записи доказательств теоремы Пифагора: китайская печатная и арабская рукописная (датируется 1258 годом).

По сей день теорема Пифагора остается самой важной теоремой математики. Может показаться, что это громко сказано, но Пифагор установил фундаментальную характеристику пространства, в котором мы существуем, и впервые описал его с помощью чисел. И точность этих чисел отражает точность законов, которые управляют Вселенной. Недаром теорему Пифагора предлагают отправить к другим планетам для того, чтобы проверить, есть ли там разумная жизнь.

Дело в том, что теорема Пифагора в том виде, в каком я ее доказал, раскрывает симметрию плоского пространства. Прямой угол становится элементом симметрии, потому что делит плоскость крестообразно. Если допустить, что плоскость основана на симметрии другого рода, то теорема перестанет быть верной, а между сторонами треугольников мы обнаружим другие соотношения. И пространство — такая же важная часть природы, как материя (даже невидимая, как, например, воздух). Вот чему учит нас геометрия. При этом важно, что симметрия пронизывает всю гармонию природы.