Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Качества, которые больше всего восхищают людей в собаках, – писал корреспондент The New Yorker Джеймс Тербер, – это их собственные достоинства, странным образом усиленные и измененные». Вероятно, поэтому о нем писали в газетах, его снимали на телекамеры и забрасывали его почетными званиями, как мозговыми косточками. В его собачьей интуиции нам виделось подобие человеческого интеллекта, подтверждение нашего с трудом добытого знания.

Но, возможно, больше всего людей приводят в восторг умильные собачьи морды. «Если бы этот пес был уродцем, – со смехом говорит мне Тим Пеннингс, – вряд ли он имел бы такой успех».

История началась в 2001 г. «У меня и мысли не было о том, чтобы взять собаку», – рассказывает Пеннингс о своей первой встрече с Элвисом. Но, когда годовалый пес не колеблясь лизнул его колено, математик решил попробовать – в любом случае, «только на шесть месяцев». Их любовь продлилась десяток лет. Элвис бывал в кабинете Тима и посещал его уроки. «Его знали во всем кампусе, – говорит Пеннингс. – Неофициальный символ колледжа Хоуп».

Когда им не надо было давать уроки, парочка любила посещать пляж Лейктаун на песчаном восточном берегу озера Мичиган. Пеннингс бросал в воду теннисный мячик, Элвис стремглав мчался по пляжу, а потом с брызгами нырял за ним.

– Это служило толчком для моей памяти, – говорит Пеннингс. – Я думал: «Ага, именно такой путь я рисую каждый раз, когда решаю задачу Тарзана и Джейн».

– Это может только университетский преподаватель, – позднее с серьезной миной говорил один студент на CNN, – испортить такую великолепную игру чем-то вроде математического анализа.

Задача довольно стара. Тарзан, этот необразованный недотепа, провалился в зыбучие пески, и Джейн должна его спасти. Но ее отделяет от возлюбленного река (для простоты не будем учитывать ее течение) и небольшой путь вниз по берегу. Как Джейн добраться до Тарзана за минимальное время?

Один вариант: направиться к нему по прямой. Это сводит к минимуму расстояние, которое нужно преодолеть. Но, если учесть, что плавает Джейн медленнее, чем бегает, будет ли мудро с ее стороны провести почти все время в воде?

Альтернатива: пробежать по берегу, пока она не окажется точно напротив Тарзана, а потом переплыть реку под прямым углом. Это уменьшит расстояние, которое надо проплыть (что, возможно, подходит для пугающе неподвижной реки), но путь в целом удлинится.

Между этими двумя крайностями у Джейн есть множество менее экстремальных вариантов, когда она пробегает часть пути вдоль берега, а потом плывет по диагонали.

Эта загадка просто создана для математического анализа. Небольшая корректировка точки прыжка в воду оказывает крошечный эффект на общее время. Найдите, где эта производная равна нулю, и вы определите идеальный путь для Джейн с минимальным временем.

Мог Элвис, столкнувшись с подобной проблемой, выбрать оптимальный путь? Или, как спросил Пеннингс в заглавии своей исследовательской работы: «Знают ли собаки математический анализ?»

Во-первых, нам нужно задать несколько переменных: r – скорость бега Элвиса, s – скорость, с которой он плывет, x – расстояние, на котором мячик находится от берега, и z – расстояние до мячика по пляжу.

Последнее важное решение – это переменная y: какой угол должен срезать Элвис?

Проведя некоторые алгебраические преобразования, Пеннингс вывел удивительную формулу:

Почему эта формула удивительная? Не столько из-за того, из чего она состоит (просто куча символов), но из-за того, что в ней отсутствует. В формуле нет z.

В следующие годы Пеннингс подчеркивал этот момент, читая лекции студентам. «Что должен Элвис сделать, – спрашивал Тим, – если я отойду еще на десяток метров, прежде чем бросить мяч?» Иными словами, если z вырастет, что произойдет с y?

Подавляющее большинство отвечающих – более 90 % – выбирали вариант (б). Но тогда Пеннингс говорит о том, что в формуле нет z. Ее отсутствие указывает на то, что оптимум не зависит от z. Не важно, насколько далеко от береговой линии начнет движение пес – 10 метров, 100 метров, 100 километров: Элвис всегда должен выбирать один и тот же момент, чтобы войти в воду.

– Вы все с этим согласились, – говорил Пеннингс слушателям. – Это казалось очевидным. Но тем не менее математика преодолевает мнение масс. Она преодолевает вашу интуицию. Она преодолевает все это.

Мог Элвис также прорваться сквозь песок и волны, чтобы добраться до своей награды? Мог собачий мозг добиться успеха там, где спасовал человеческий? Неутомимые Пеннингс, Элвис и помогавший им студент провели день на пляже, собирая данные. Во-первых, замерили время, чтобы определить скорость пса: на земле Элвис преодолевал 6,4 м/с, а в воде – 0,91 м/с. Во-вторых, экспериментаторов ждало главное событие. Пеннингс провел 13-метровую черту с разметкой вдоль берега. Он бросал мячик 35 раз, 35 раз гнался за Элвисом, пока пес не нырял в воду, 35 раз втыкал отвертку в песок, чтобы сделать отметку, и 35 раз бросался, чтобы измерить расстояние, на котором мяч находился от берега до того, как Элвис схватил его.