Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Бросьте «астрояблоко» с высоты, на которой находится Луна, и за первую секунду оно переместится чуть больше чем на один миллиметр. Это толщина прекрасной во всех отношениях кредитной карты.

В те времена движение Луны по орбите оставалось тайной. Считалось, что лучше всего его объясняет вихревая теория Рене Декарта, согласно которой все небесные объекты следуют своими маршрутами благодаря кружащимся, как в водовороте, потокам частиц, словно игрушки в ванне, устремляющиеся к сливу, когда из него вынимают пробку. Но наступило время перемен – annus mirabilis Ньютона, его «чудесный год», который «чудесным» же образом растянулся на 18 месяцев. Пережидая в Вултсорпе, у матери, эпидемию чумы, свирепствовавшей в Лондоне, Ньютон разработал идеи, которые легли в основу современной математики и физики. Он сформулировал законы движения, раскрыл оптические секреты призмы, не забывал обращать внимание на предметы быта и изобрел математический анализ.

А заодно, благодаря падению яблока, сверг с пьедестала вихри Декарта.

Как знал предшественник и брат Ньютона по духу Галилей, горизонтальное движение не влияет на вертикальное. Оставьте одно яблоко падать строго вертикально, а другое точно такое же яблоко киньте горизонтально в любую сторону, и они ударятся о землю в один и тот же момент. Разумеется, их горизонтальные траектории разойдутся, но вертикальное движение определяется одной и той же единовластной силой – притяжением.

Теперь поднимите свои яблоки на вершину очень высокой горы и бросьте их с силой супермена. Поздравляю! Вы попали в знаменитую иллюстрацию из шедевра Ньютона «Математические начала натуральной философии», демонстрирующую диковинные физические процессы падения с большой скоростью.

Здесь благодаря искривлению земной поверхности наше аккуратное разделение вертикального и горизонтального движения исчезает. То, что в один момент является горизонтальным, в другой становится вертикальным. Чем сильнее бросок, тем дольше продолжается падение.

Бросьте яблоко с силой, как это делает питчер Высшей бейсбольной лиги, и оно пролетит небольшое расстояние, прежде чем упасть на землю. Оно может добраться из точки А в точку В.

Бросьте яблоко по-настоящему сильно, как питчер «Ред Сокс» в сторону наглого игрока «Янкиз», и горизонтальное движение уведет фрукт от поверхности Земли, продлив падение. Возможно, он проделает весь путь до точки С.

Бросьте яблоко невообразимо сильно, как Генри Ровенгартнер[3] на стероидах, и оно полетит от Земли так быстро, что каждый момент падения будет просто возвращать яблоко на первоначальную высоту. Таким образом, яблоко сможет падать вечно.

Орбита – это всего лишь постоянное падение, и никакие картезианские[4] вихри здесь не требуются.

Как все это работает с нашим отважным лунным яблоком? Ну, это задача для математического анализа, так что возьмем бесконечно малый момент – одну-единственную секунду путешествия. На таком коротком отрезке изогнутую линию орбиты можно считать прямой линией.

Здесь мы обозначим расстояние, которое пролетит яблоко, если будет подвергаться воздействию только силы притяжения.

А что теперь? Следующим шагом Ньютона было изящное геометрическое доказательство. Построим прямоугольный треугольник. Нам нужно узнать длину гипотенузы (самой длинной стороны). Поэтому впишем его в более крупный треугольник, сохраняющий те же пропорции.

Поскольку треугольники являются подобными, их стороны соотносятся одинаково:

Решив уравнение, получаем следующий ответ

Как вы помните, наше яблоко опускается с малой скоростью 1 мм/с – около 3 % скорости ленивца на поверхности земли. И тем не менее, чтобы удержать фрукт на орбите, мы должны запустить его со скоростью 1 км/с, что примерно в три раза больше скорости звука.

Казалось бы, невероятно, немыслимо! Луна падает как брошенное в сторону яблоко? Действительно, сэр Исаак? Можете ли вы подтвердить этот смешной мысленный эксперимент какими-либо – как это называется – доказательствами?

Ну, давайте прикинем время, за которое наше лунное яблоко сделает оборот по орбите вокруг Земли. На таком большом расстоянии ему придется пройти путь в 2,5 млн км по окружности. При движении со скоростью чуть больше 1 км/с сколько времени займет это путешествие?

Ха, вы только посмотрите на это! Наши расчеты совпали – с погрешностью менее 0,7 % – с периодом реальной лунной орбиты. Это удивительным образом подтверждает теорию Ньютона: Луна действительно падает, как огромное яблоко сорта «ред делишес» (и ее почти так же хочется съесть). Как заключил биограф Джеймс Глейк: