Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Когда я впервые задумался о написании этой книги, мне представлялась линейная подача материала – нечто вроде продвинутого курса математического анализа с картинками. Таким был путь, который я прошел, будучи студентом и учителем, единственный известный мне путь, имеющий смысл. Но чем дальше я шел по нему, тем мне было противнее. Мне была нужна дорога из желтого кирпича, с яркими красками и волшебством, а то, что я делал, больше напоминало путь по отделам магазина «ИКЕА». Наконец я понял намек, изменил план и начал собирать истории. Некоторые из них соединяют вводные темы (например, Риманова сумма) с продвинутыми (интеграл Лебега). Отдельные темы (скажем, «Рождение математического анализа») превратились в сквозных героев повествования, снова и снова появляясь как абзацы-камео. Некоторые центральные темы (например, «Ряды Тейлора») исчезли вовсе. То, что я представлял себе как классическую нить жемчуга, превратилось в калейдоскоп.

Очевидно, эта книга не является учебником. Но если вы преподаете математический анализ (или изучаете его), я надеюсь, что она будет вашим верным товарищем. Чтобы помочь в этом, ниже я привожу «стандартную» (более или менее) последовательность тем и соответствующие им истории, а также несколько отдельных педагогических идей.

Пределы: «То, что ветер оставляет после себя» (гл. VIII), «В литературных кругах» (гл. XVI)

От природы я застенчивый человек, который всегда старается занимать промежуточное положение: я слушаю Coldplay, пью латте и всегда начинаю курс математического анализа с пределов. Но работа над этой книгой заставила меня стать более радикальным: теперь я соглашаюсь на совместные действия с теми хулиганами и злоумышленниками, которые принижают пределы. Не само математическое понятие, а, скорее, идею о том, что до того, как познакомиться с производными и интегралами, студенты должны пройти через тщательное изучение локального поведения абстрактных функций вне контекста. В следующий раз, когда я буду преподавать матан, я собираюсь присоединиться к мятежникам и нырнуть сразу в дифференциацию, вернувшись к понятиям сходимости и неразрывности только тогда, когда они естественным образом всплывут в контексте. Это, как я понимаю, исторически верный путь, а то, что было хорошо для Бернулли, будет на пользу и мне.

Касательные: «Шерлок Холмс и неправильный велосипед» (гл. VI)

Хотя я недоволен пределами как педагогической основой, это не мешает мне оставаться большим поклонником связанных с ними философских загадок. Именно поэтому мне нравится задача о касательной, про которую я здесь рассказал. Она дает конкретное значение понятию «мгновенное движение» и вынуждает сравнивать действия без матана с действиями в его рамках.

Определение производной: «Мимолетное вещество времени» (гл. I)

Споры о том, какое определение лучше дать производной, не умолкают. Это наклон касательной? Оптимальная локальная линеаризация? Мгновенный уровень изменения? Я предпочел последний вариант, хотя идея «локальной линеаризации» последует очень скоро, в главе «Когда Миссисипи текла на миллион миль» (гл. V).

Правила дифференцирования: «Зеленоволосая девушка и многомерная улитка» (гл. X); «Посчитаем!» (гл. XV)

Я представляю производные функций х² и х³ (в главе X) и правило произведения (в главе XV) через рассуждения о бесконечно малых. Увы, мой новоприобретенный радикализм снова поднимает голову: если когда-то я считал этот подход противозаконным и даже аморальным, теперь полагаю, что философская выдумка, позволяющая представить dx как «бесконечно малое приращение х», – не самая высокая цена за огромную педагогическую выгоду от привнесения в процесс геометрии.

Наглядная иллюстрация: когда я впервые преподавал математический анализ, я был потрясен, обнаружив, что объем сферы (4/3 πr³), дифференцированный по радиусу, дает ее площадь (4 πr²). Каким образом получилось такое невероятное совпадение? В конце концов я увидел логику: дополнительное приращение радиуса добавляет к объему крошечный внешний слой, фактически равный площади поверхности. Тот факт, который я раньше воспринимал как чисто алгебраический, теперь ощущается глубоко связанным с геометрией благодаря решающему фактору – принять dx и однотипные выражения как (временно) значимые величины.

Кинематика: «Вечно падающая Луна» (гл. II), «Радости полета бутерброда» (гл. III), «Танцы с пылью» (гл. IX)