Все формулы мира. Как математика объясняет законы природы

Рассмотрим тонкий прямоугольный объем в атмосфере (хотя в целом атмосфера – это сферический слой, но если размер тела намного больше толщины атмосферы, то можно рассмотреть плоский случай). Он имеет массу M и объем V, равный произведению его площади S на толщину нашего тонкого слоя внутри атмосферы dh. Масса складывается из суммы масс отдельных частиц. Будем рассматривать атмосферу, преимущественно состоящую из атомов или молекул одного сорта. Массу одной частицы обозначим m, а их концентрацию (количество в единице объема) n. Тогда:

На этот слой действуют три силы: сила давления сверху, сила давления снизу и гравитация. Силу гравитации легко записать: это произведение массы слоя на ускорение свободного падения g. Сила давления – это произведение давления на площадь. Снизу давит сильнее, и если давление снизу мы обозначим P, то сверху оно меньше на небольшую величину dP.

Наш слой находится в равновесии, т. е. силы уравновешивают друг друга:

Это уравнение легко упростить, и мы получим – dP = mngdh. dP – отрицательная величина (давление падает с высотой).

Из школьной физики мы помним, что давление в идеальном газе – это плотность энергии движения составляющих его частиц. Каждая частица имеет энергию kT, где T – температура, а k – постоянная Больцмана. Значит, давление равно P = nkT. Можно считать, что в тонком слое температура меняется слабо, а изменение давления связано в первую очередь с уменьшением концентрации частиц при подъеме вверх (атмосфера становится разреженнее). Тогда dP = kTdn, где dn (тоже отрицательная величина) показывает, насколько концентрация частиц внизу слоя больше, чем вверху. Подставим это в нашу формулу и получим:

Теперь перепишем это и получим простое дифференциальное уравнение:

Мы уже сталкивались с похожим уравнением выше, а потому помним, что после интегрирования получим экспоненциальное решение:

где n₀ – концентрация частиц на нулевой высоте, а h₀=kT / (mg). Последняя величина как раз задает характерную толщину атмосферы: при подъеме на такую высоту концентрация частиц падает в e раз.

Теперь мы можем подставить значения концентрации частиц, температуры и ускорения свободного падения, характеризующие конкретную атмосферу, и получим ее характерную толщину.

В случае Земли температура равна примерно 300К, ускорение свободного падения – 10 м/с² (что в системе СГС дает нам 1000 см/с²), а масса одной частицы примерно равняется 30 · 10^–24 г. Постоянная Больцмана равна 1,38 · 10^–16 эрг/К. В итоге получим, что характерная толщина земной атмосферы составляет около 1 млн см, т. е. 10 км.

А что у нейтронных звезд? Если мы говорим о достаточно молодых объектах с возрастами от нескольких сотен до сотен тысяч лет (именно такие компактные объекты удается наблюдать по тепловому излучению их поверхности), то температура составляет примерно 1 млн Кельвин. Типичный состав такой атмосферы – водород (если на нейтронную звезду натекло немного вещества) или железо. Соответственно, массы частиц или около 10^–24 г, или 56 · 10^–24 г. Ускорение свободного падения гигантское, его можно посчитать как GM / R², где M – масса, а R – радиус компактного объекта. Получим огромную величину 10¹⁴ см/с², т. е. толщина атмосферы от 1 мм (в случае железа) до 1 см (если основной газ – водород).

Удивительно, но даже такой тонкий слой вещества может сильно влиять на исходящее от поверхности излучение. Без влияния атмосферы мы видели бы от одиночных молодых нейтронных звезд практически идеальный тепловой спектр, а наблюдения показывают, что это не так. Из-за поглощения в толстой (несколько сантиметров!) водородной атмосфере фотоны низкой энергии выходят беспрепятственно лишь из ее внешних слоев, где температура немного ниже[123]. Наоборот, высокоэнергичные кванты рентгеновского излучения (а при 1 млн Кельвин поверхность испускает именно рентген) меньше поглощаются, поэтому достигают наших детекторов из более глубоких слоев. В результате регистрируемый спектр начинает отличаться от чернотельного.

В некоторых случаях природа подкидывает нам интересные загадки: спектр нейтронной звезды может плохо описываться водородным или железным составом. Тогда приходится подбирать нужные ингредиенты. Это не просто подгонка параметров. Дело в том, что после коллапса ядра и взрыва сверхновой часть выброшенного вещества иногда выпадает обратно на компактный объект, поэтому в атмосфере может появиться практически все – от водорода до железа. Что и в каком количестве окажется на поверхности, зависит от параметров взрыва. Таким образом, анализ состава атмосфер молодых нейтронных звезд помогает изучать, как происходят вспышки сверхновых.

Приложение 6 Быстрые радиовсплески

Возможно, сейчас, когда вы читаете эту книгу, загадка быстрых радиовсплесков уже решена. Пока же на протяжении нескольких лет она остается одной из самых «горячих» в астрофизике, вызывая потоки интересных идей и бурные споры.