Вселенная в вопросах и ответах

Чтобы орбита была гелиосинхронной, ее параметры выбирают такими, чтобы она прецессировала в восточном направлении на 360° в год (приблизительно на 1 градус в день), компенсируя вращение Земли вокруг Солнца. Прецессия происходит за счет взаимодействия спутника с Землей, несферичной из-за полярного сжатия. Скорость прецессии зависит от наклонения орбиты. Нужной скорости прецессии можно достичь лишь для определенного диапазона высот орбит (как правило, выбираются значения 600÷800 км, с периодами 96÷100 минут), необходимое наклонение для упомянутого диапазона высот — около 98°. Иными словами, гелиосинхронная орбита — это практически полярная орбита.

При запуске спутника на полярную орбиту с экваториального космодрома пришлось бы скоростью ракеты компенсировать вращение Земли, которое в данном случае только мешает. Поэтому высокоширотные космодромы в этом случае выгоднее.

3.13. К антиподам

Пусть М_⊕ — масса Земли и R_⊕ — радиус Земли. Полет спутника по низкой орбите от одного полюса к другому займет половину его орбитального периода:

Теперь определим продолжительность полета снаряда через шахту. Поскольку распределение плотности вещества внутри Земли имеет довольно сложный вид, мы рассмотрим два крайних случая.

а) Пусть Земля — однородный шар. На расстоянии r от центра Земли снаряд испытывает притяжение только от внутренней части планеты радиусом r и массой M(r) = M_⊕(r/R_⊕)³. Следовательно, он движется с ускорением

(знак минус говорит здесь о том, что направления векторов r и a противоположны). Как видим, это уравнение простых гармонических колебаний, возникающих в том случае, когда возвращающая сила пропорциональна отклонению тела от точки равновесия. В нашем случае эта точка — центр Земли.

Решить это уравнение можно по аналогии с уравнением малых колебаний маятника:

где g — ускорение свободного падения, L — длина маятника, r — его отклонение. Как известно, период колебания маятника составляет

Значит, период колебания снаряда в шахте (независимо от амплитуды колебания!) составит

А полет между полюсами будет длиться

Таким образом, в случае однородной Земли снаряды прибудут к Южному полюсу одновременно (Т₁ = Т_2a).

Однако известно, что к центру Земли плотность увеличивается, поэтому рассмотрим другой крайний случай.

б) Пусть вся масса Земли сосредоточена в ее центре. Тогда ускорение снаряда

Это уравнение движения в поле точечной массы, типичное для тел Солнечной системы. Движение нашего снаряда по радиальной орбите можно представить как движение по вырожденному эллипсу с эксцентриситетом, практически равным единице. Тогда большая полуось этого эллипса равна R_⊕/2, а орбитальный период

Это в раз меньше, чем Т₁ или Т_2a. Очевидно, что истинное значение времени полета снаряда через шахту (Т₂) удовлетворяет неравенству Т_2a > Т₂ > Т_2б. Следовательно, Т₂ < Т₁, т. е. снаряд, отпущенный падать в шахту, достигнет противоположной точки Земли быстрее, чем снаряд, выведенный на орбиту. Как видим, это очень удобный вид межконтинентального транспорта и к тому же совершенно бесплатный (если не считать затрат на создание шахты и поддержания в ней вакуума!).

Задача решена. А теперь попробуйте рассмотреть третий вариант распределения плотности Земли — совершенно невероятный: пусть вся масса планеты сосредоточена в ее бесконечно тонкой оболочке, а внутри — пусто. Желаю успеха!

3.14. К антиподам разными путями

На снаряд, движущийся в плоскости экватора, будет (в системе отсчета, связанной с Землей) действовать центробежная сила, ослабляющая силу тяготения. Поэтому он пройдет через центр Земли позже и не столкнется с полярным снарядом, а на путь к антиподам затратит большее время. Полярный снаряд его опередит.

3.15. Связь между полюсами

Максимальную широту, на которой геостационарные спутники еще видны над горизонтом, определим из условия видимости объекта на горизонте

где r_ГС = 42 166 км — радиус орбиты геостационарного спутника. Приняв Землю за шар и взяв R_⊕ = 6371 км, получим φ = 90° — 8,7° ≈ 81°. На более высоких широтах и тем более на полюсах Земли геостационарные спутники не видны с уровня моря. Значит, и связь с их помощью невозможна.

3.16. Маршрут по Луне

Кроме очевидного решения (южный полюс) существует еще бесконечное число таких точек в районе северного полюса, на расстоянии от него (35 + 20/2πn) км, при n = 1, 2, …

3.17. Посадка на Марс

Автор ошибочно привел значение скорости на низкой околоземной орбите, тогда как для Марса значение этой скорости существенно меньше — всего около 12 800 км/ч.

3.18. Летим на Солнце