Введение в логику и научный метод

Суть диалога, таким образом, можно разложить на три различных шага. Умозаключения 2 и 3 обладают одной и той же логической формой, и мы отметим это чуть ниже. Умозаключение 1 имеет отличную от других двух форму. Такие умозаключения, как 2 и 3, называются смешанными условными силлогизмами. Они содержат три суждения: первая посылка, являющаяся большей, представлена условным суждением, вторая, меньшая, категорическим суждением; заключение также является категорическим суждением. Такие умозаключения, как 1, называются чистыми условными силлогизмами. Они содержат два условных суждения в посылках, а также условное суждение в заключении.

Почему заключение в каждом из двух примеров смешанного условного силлогизма считается обоснованно выведенным из посылок? На данном этапе читатель уже достаточно подготовлен, чтобы ответить на этот вопрос. Правильным ответом является следующий: если мы утверждаем истинность условного суждения, а также истинность его основания, то мы с необходимостью должны утверждать и истинность следствия.

То же самое можно выразить и иначе. Конъюнктивное суждение «если объявлена война, то цены поднимаются, и война объявлена» имплицирует суждение «цены поднимаются». Конъюнктивное суждение является главным, или подчиняющим, относительно суждения «цены поднимаются». Таким образом, если мы утверждаем истинность конъюнкции, то мы должны также утверждать и истинность подчиненного суждения.

Ценность такого рассуждения вполне очевидна. Зачастую нам легче установить истинность условного суждения, а также истинность его антецедента, чем истинность его консеквента. Истинность консеквента тогда может быть установлена опосредованно, как истинность заключения в таком умозаключении. Таким образом, все попытки поделить любой угол (осуществить трисекцию) на три части с помощью циркуля и линейки сегодня должны рассматриваться как бесполезные, поскольку известна истинность двух суждений: «если геометрическое построение можно выразить в виде несокращаемого алгебраического уравнения выше второй степени, то его нельзя построить только с помощью циркуля и линейки» и «трисекция угла выражается несокращаемым кубическим уравнением». Следовательно, трисекция угла посредством элементарных методов невозможна. Данный результат мог быть получен только как заключение смешанного условного силлогизма.

Данный аргумент имеет следующую схематическую форму: Если А есть В , то С есть D; А есть В ; следовательно, С есть D . Если мы используем ранее введенные символы, то форма этого силлогизма будет выражаться так: p ⊃ q; p ; ∴ q . Считается, что данное умозаключение стоит в модусе ponendo ponens . Данное выражение обозначает, что, утверждая то, о чем говорится в меньшей посылке, мы утверждаем и то, о чем говорится в заключении. Само выражение происходит от латинского слова «ропеге», которое означает «настаивать» или «утверждать».

Предположим, нам известно, что суждение «если имеет место полное затмение Солнца, то на улицах становится темно» является истинным. Можем ли мы в этом случае для суждения «имеет место полное затмение Солнца» предложить в качестве окончательного основания суждение «на улицах стало темно»? Если бы мы так сделали, то получившееся в результате умозаключение было бы ошибочным. В условном суждении утверждается только то, что если антецедент истинен, то консеквент должен быть истинным; в нем не утверждается того, что консеквент может быть истинен только в том случае, если истинен антецедент. Так, наряду с моментами полного затмения на улицах также бывает темно по ночам или в облачные дни. Следовательно, будет ошибкой утверждать истинность консеквента и выводить из нее истинность антецедента. Ниже мы еще не раз привлечем внимание читателя к этой ошибке. Ее иногда совершают видные ученые, не проводящие различия между необходимым и вероятностным выводом или не учитывающие отличия между доказательством истинности суждения и ее верификацией. Примером тому является следующее утверждение: если теория органической эволюции истинна, то мы должны найти окаменелые останки вымерших видов животных. Однако обнаружение подобных останков не является доказательством истинности данной теории или ее окончательным основанием.

Утверждать истинность консеквента условного суждения, таким образом, ошибочно. Однако отрицание истинности консеквента может дать нам обоснованное заключение. К примеру, мы хотели бы знать, виновен ли Том Муни в закладывании взрывного устройства во время празднования парада по случаю Дня готовности (Preparedness day) в 1916 году в Сан-Франциско. Изучив природу этого устройства, мы можем сформулировать следующее суждение: «если Муни виновен, то он находился на углу улицы за десять минут до взрыва». Однако предположим, что у Муни есть алиби, и он может доказать, что за пятнадцать минут до взрыва находился в миле от места взрыва на улице, которая при этом была непроходимой. В таком случае нам придется отрицать консеквент условного суждения, а это отрицание, в свою очередь, обязывает если не политиков, то, по крайней мере, всех, кто изучает логику, отрицать и антецедент. Это происходит потому, что в условном суждении утверждается неверность того, что антецедент может быть истинным, а консеквент одновременно с этим ложным.

Суждение, противоречащее антецеденту, в действительности, является подчиненным конъюнктивному суждению «если Муни виновен, то он был на месте взрыва за десять минут до самого взрыва» и «он не был на месте взрыва за десять минут до самого взрыва». Если мы будем утверждать истинность этого подчиняющего суждения, то нам также придется утверждать и истинность подчиненного суждения, поскольку подчиняющее суждение имплицирует подчиненное.

В умозаключениях данного вида заложен основной метод опровержения предлагаемых теорий. Является ли любая точка на поверхности Земли равноудаленной от ее центра? Если принять как доказанные некоторые принципы физики, то можно продемонстрировать истинность суждения «если Земля является сферой, то маятник определенной длины качнется дважды в секунду в любой точке на поверхности Земли». Однако экспериментально можно продемонстрировать, что существует варьирование того, сколько раз качнется маятник, если его смещать вдоль линии меридиана. Из этого следует, что форма Земли не является сферической.

Такой тип аргументации можно изобразить схематически следующим образом: если А является В , то С является D ; следовательно, А не является В. Или же как: p ⊃ q; q ′; ∴ p ′. Данное умозаключение соответствует модусу tollendo tollens , ибо, отрицая малую посылку, мы отрицаем и заключение. Данное название происходит от латинского слова «tollere» , означающего «возносить» или «отрицать».

Можно ли опровергнуть консеквент условного суждения, предоставив основания, указывающие на ложность антецедента? Допустим, мы хотим узнать, является ли одинаковой площадь двух прямоугольных участков земли. Нам также может быть известно, что «если соответствующие стороны двух прямоугольных участков равны, то их площади также равны» – истинно. Однако предположим, что при непосредственном измерении мы обнаруживаем, что соответствующие стороны неравны. Можем ли мы на основании этого делать вывод о том, что площади участков также неравны? Разумеется, нет. Например, стороны одного участка могут иметь длину в четыре и пять единиц соответственно, а стороны другого участка – две и десять единиц; при этом площади двух таких участков будут равными. Следовательно, нельзя выводить ложность консеквента из отрицания антецедента. Данную ошибку нередко совершают общественные деятели, а также и остальные расчетливые люди. Так, может утверждаться суждение «если конгресс вмешается в планы президента, то депрессия в промышленности не будет преодолена». При этом многие зачастую считают, что депрессия будет преодолена, только если конгресс отложит или отменит заседание, и верят, что последнее является логическим следствием первого.

§ 2. Разделительный силлогизм

Рассмотрим далее обоснованное умозаключение, в котором большей посылкой является дизъюнктивное суждение, а меньшей – простое категорическое. Подобные умозаключения называются «разделительно-категорическими силлогизмами». В форме такого умозаключения Томас Пейн рассматривал природу британской конституции в своей книге «Права человека» («Rights of man»):

«…Правительства бывают либо произошедшими из народа, либо установленными над народом. Британское правительство произошло из завоеваний, а не из общества, и, следовательно, оно было установлено над народом…»

Какие условия необходимы для того, чтобы обоснованно вывести заключение из дизъюнктивного суждения, выступающего в качестве большей посылки силлогизма? Предположим, читатель считает, что его телефонная компания взяла с него лишние деньги за услуги, предоставляемые в течение месяца, и он решает принять меры. Он может решить следующее: «Я напишу в компанию письмо или схожу в ее представительство». Если данное суждение является истинным, то, по крайней мере, один из дизъюнктов должен быть истинным. При этом возможность того, что они оба могут быть истинными, также не исключается. Следовательно, если читатель напишет в компанию письмо, то из этого мы не сможем вывести то, что он также туда не сходит. Сходным образом если он нанесет визит в компанию, то мы не сможем заключить, что он не напишет туда письмо. Мы совершим ошибку, если, имея представленную дизъюнкцией общую посылку, будем выводить ложность одного дизъюнкта из истинности другого.

С другой стороны, если читателю вдруг придется покинуть город, и он не сможет нанести визит в компанию, то из этого следует, что он напишет туда письмо. Или же, если он, наконец, решит, что в письмах нет никакого толка, то из этого будет следовать то, что он нанесет визит в представительство телефонной компании. Следовательно, разделительный силлогизм является обоснованным, когда в меньшей посылке отрицается один из дизъюнктов, а в заключении утверждается истинность другого.

Сформулируем заново этот результат, с тем чтобы проявить обратное отношение, присутствующее между посылками и заключением. Конъюнкция суждений «Я напишу в компанию письмо или схожу в ее представительство» и «я не буду писать письмо» имплицирует суждение «я схожу в ее представительство». Конъюнкция, таким образом, является подчиняющим суждением относительно заключения.

Разделительный силлогизм, как мы более подробно увидим ниже, зачастую используется для элиминации предлагаемых объяснений или решений соответствующих задач. Какой фактор в окружающей среде объясняет изменение погоды на определенной территории? Мы можем попробовать предположить, что к возможным факторам относятся удаленность от Солнца, длительность подверженности солнечным лучам, изменения направлений потоков воздуха. Если мы сможем элиминировать одну из этих возможностей, то из этого будет следовать, что, учитывая предположение об истинности дизъюнкции, причина изменения погоды лежит в одном из оставшихся предполагаемых объяснений. Однако читателю следует учесть, что мы не элиминируем другие из перечисленных факторов, если обнаруживаем, что, например, погода зависит от поведения потоков воздуха. Не исключено, что каждый из оставшихся факторов также в свою очередь оказывает влияние на погоду.

Схематическая форма данного типа умозаключения выглядит следующим образом: А есть В или С есть D; А не есть В ; следовательно, С есть D . Или: p ∨ q; p ′; ∴ q . Данное умозаключение осуществляется по модусу, который называется «modus tollendo ponens» (отрицающе-утверждающий), поскольку, отрицая (в меньшей посылке), мы утверждаем (в заключении).