Введение в логику и научный метод

Рассмотрим три данные репрезентации. Мы обнаруживаем, что, во-первых, мы можем сопоставить один к одному каждый из элементов одной интерпретации с элементами других двух. Во-вторых, каждое отношение между элементами в одной интерпретации соответствует отношению с теми же логическими свойствами между соответствующими элементами других двух интерпретаций. Так, например, элемент 0 из нумерической интерпретации может быть сопоставлен с точкой А в геометрической интерпретации, а также с мистером Адамсом из банковской конторы; элемент 1 соответствует точке В, а также мистеру Брауну и т. д. А трехместное отношение между числами 0, 1, 3 (с. 218), в силу которого они принадлежат одной и той же группе, соответствует отношению между точками ABD, в силу которого они лежат на одной линии, а также отношению между Адамсом, Брауном и Смитом, в силу которого они находятся в одном комитете и т. д.

Две или более системы, связанные подобным отношением, называются изоморфными , или обладающими тождественной структурой или формой . Теперь мы можем предложить общее определение термину «изоморфизм» . Даны два класса: S с элементами a, b, c … и S′ с элементами a ′ , b ′ , c ′…; допустим, что элементы S могут быть взаимно однозначно сопоставлены с элементами S ′, так что, например, а соответствует а ′, b соответствует b ′ и т. д. Тогда, если для каждого отношения R между элементами S (таким, что, например, aRb ) существует отношение R ′ между соответствующими элементами S ′ ( a ′ R ′ b ′), то данные два класса являются изоморфными .

На данном этапе мы достаточно подготовлены для того, чтобы усвоить огромную важность математического метода как инструмента естественных наук. Во-первых, гипотеза, или набор допущений, может изучаться на предмет ее импликаций без постановки вопросов материальной истинности или ложности. Данное обстоятельство важно для понимания того, какие обязательства мы принимаем, соглашаясь с такой гипотезой. Во-вторых, абстрактно сформулированная гипотеза может обусловить более чем одну конкретную репрезентацию. Следовательно, изучая чистую математику, мы изучаем возможные структуры многих конкретных ситуаций. Тем самым мы обнаруживаем тот неизменный, или инвариантный фактор, присутствующий в ситуациях, которые по-разному ощущаются и претерпевают изменения. Наука иногда определяется как поиск системы (порядка или постоянства) среди непохожести и изменения. Идея изоморфизма является наиболее ясным выражением того, что имеется в виду под подобной системой.

Некоторые примеры изоморфизма хорошо известны. Обычная карта является полезным инструментом, поскольку отношения между изображенными на ней точками имеют структуру, тождественную отношениям между пунктами на местности, которой соответствует карта. В физике мы можем наблюдать, как формула обратных квадратов применяется относительно электрического притяжения и отталкивания, равно как и относительно гравитационной силы. Это возможно потому, что данные различные предметные области обладают тождественной формальной структурой в отношении исследуемых свойств. Физика также обнаруживает, что этот же набор принципов применим относительно движения планет, падения слезинки и колебания маятника. Именно обнаруживаемый в различных предметных областях изоморфизм обусловливает современную теоретическую науку. Элементарное изображение «словаря» по переводу теорем евклидовой геометрии в теоремы неевклидовой геометрии можно найти в книге А. Пуанкаре «Основания науки». С абстрактной точки зрения эти разные геометрии обладают тождественной структурой.

Следует отметить, что две системы могут не обладать структурами, тождественными на всем их масштабе, но при этом иметь общие свойства. Евклидовы и неевклидовы геометрии обладают многими общими теоремами, и в то же время некоторые теоремы одной системы формально несовместимы с некоторыми теоремами другой системы. Из сказанного следует, что целиком две системы могут быть несовместимыми друг с другом, но при этом обладать общей подсистемой. Это можно проиллюстрировать следующим образом. Рассмотрим систему, детерминируемую аксиомами 1′—7′ Рассмотрим также систему, получаемую при замене 7′ на допущение 7′′ ни один l‑класс не содержит более четырех элементов S . Данные две системы не являются изоморфными, что видно из сравнения репрезентации первой системы (с. 218) с репрезентацией второй системы (с. 220). Тем не менее, все теоремы в обеих системах, выводимые из первых шести аксиом, будут одними и теми же. Система, детерминируемая аксиомами 1′—6′, таким образом, является общей подсистемой для несовместимых систем, детерминируемых аксиомами 1′—7′ с одной стороны, и аксиомами 1′—7′′—с другой.

Проведенное наблюдение имеет большую важность. Исследования в естественных науках зачастую подталкивают нас к мнению, что теория является истинной, потому что некоторое следствие этой теории было подтверждено. Тем не менее, точно такое же следствие может быть выведено и из альтернативной теории, несовместимой с данной. Поэтому мы не можем обоснованно утверждать истинность ни одной из двух теорий. Однако, будучи достаточно внимательными, мы можем обнаружить те допущения, которые являются общими для обеих теорий и на которые опираются тождественные следствия. Тогда можно будет установить также и то, какие из допущений, в силу которых данные теории являются разными, не согласуются с экспериментальными данными.

В отношении дедуктивных систем следует сделать еще одно замечание. Любая система по необходимости является абстрактной: она представляет структуру некоторых отдельных отношений и поэтому в ней не должны учитываться какие-либо другие отношения. Поэтому системы, изучаемые в физике, не включают в себя системы, исследуемые в биологии. Более того, как мы уже могли убедиться, система является дедуктивной не в силу какого-либо конкретного значения ее терминов, а в силу универсальных отношений между ними. Специфическое качество вещей, на которые могут указывать термины, само по себе не играет никакой роли в системе. Так, в теории теплоты не учитываются уникальные чувственные качества, демонстрируемые явлениями теплоты. Дедуктивная система, таким образом, является абстрактной вдвойне: она абстрагируется от специфических качеств предметной области, а также выбирает одни отношения и пренебрегает другими. Из этого следует, что различных систем может быть очень много, и каждая из них может быть исследована отдельно от остальных. Не исключено, что такая множественность систем может конституировать множество подсистем, относящихся к одной всеобъемлющей системе. Однако у нас недостаточно оснований, чтобы считать, что такая всеобъемлющая система на самом деле имеет место. В любом случае, для адекватного исследования любой из менее содержательных систем знания такой всеобъемлющей системы не требуется. Выходит, что человеческое знание о естественном мире возможно только потому, что естественный мир можно исследовать с помощью множества относительно автономных систем.

§ 4. Эквивалентность наборов аксиом

Мы уже сказали, что в любой дедуктивной системе некоторые суждения являются недоказуемыми в этой системе и что некоторые термины являются неопределимыми. Также мы сказали, что суждение, являющееся аксиомой в одной системе, может быть теоремой в другой. Теперь мы хотим проиллюстрировать сказанное.

Рассмотрим нижеследующие допущения относительно класса S ; его элементы: A, B, C и т. д., его l‑классы (или l‑подклассы ): a, b, c и т. д.