Введение в логику и научный метод

До настоящего момента мы рассматривали операции над классами. Однако мы не сможем получить исчисления до тех пор, пока не предложим символическую запись для отношений между классами. Различие между операциями над классами и отношениями между классами заключается в том, что проведение операций над классами дает нам новые классы, а утверждение тех или иных отношений между классами дает суждения, а не классы. Основополагающим отношением мы будем рассматривать отношение включения в класс. Один класс будет считаться включенным в другой, если каждый член первого класса также является и членом второго. Если а и Ь являются классами, то суждение «а включен в Ь» мы будем обозначать как «а < Ь».

Отношение включения (<) является транзитивным и несимметричным, т. к. если а < b и Ь < с, то а < с. Но если а < b, то из этого еще не следует, что b < а. Мы можем определить равенство двух классов в терминах обоюдного включения. Класс а равен Ь, если а включен в Ь и Ь включен в а, т. е. если у них одни и те же члены. Символически это будет выглядеть так: (а = Ь) = (а < b). (Ь < а), где знак «=» обозначает равенство между классами, а знак «=» обозначает эквивалентность между суждениями, а точка («.») обозначает совместное утверждение двух суждений.

Принципы исчисления классов Чтобы начать исчисление, нужно установить ряд основополагающих принципов, которые будут совершенно недвусмысленно определять природу только что обсуждавшихся нами операций и отношений. Обычно предполагается следующий набор принципов.

1.  Принцип тождества : для любого класса а < а.

В этом принципе утверждается, что каждый класс включен в самого себя. Из данного принципа, а также из определения равенства следует, что а = а.

2.  Принцип противоречия : 

= 0.

Ничто не является членом класса а и одновременно членом класса не-а.

3.  Принцип исключенного третьего : а + 

= 1.

Каждый индивид универсума либо является членом а, либо членом не-а.

4.  Принцип перестановки : аb = Ьа

а + Ь = Ь + а.

Проиллюстрировать данный принцип можно следующим образом: класс индивидов, являющихся одновременно немцами и музыкантами, это то же самое, что и класс индивидов, являющихся одновременно музыкантами и немцами; класс индивидов, являющихся немцами или музыкантами, это то же самое, что и класс индивидов, являющихся музыкантами или немцами.

5.  Принцип ассоциации :

( ab ) c = a ( bc ),

( a + b ) + c = a + ( b + c ).

6.  Принцип дистрибуции :

( a + b ) c = ac + bc ,

ab + c = ( a + c ) ( b + c ).

В первой строчке выражен аналог хорошо известного свойства обычных чисел. Во второй же вводится значимое различие между предлагаемой алгеброй и ее обычным (вычислительным) видом.

7.  Принцип тавтологии :

aa = a ,

a + a = a .

Эти два принципа заключают в себе радикальное различие между обычной (вычислительной) алгеброй и той, что предлагается здесь.

8.  Принцип поглощения :

a + ab = a ,

a ( a + b ) = a .

9.  Принцип упрощения :

ab < a,

a < a + b .

Из последних двух принципов следует, что нуль-класс включен в любой класс (0 < а) и что любой класс включен в универсум (а < 1). Чтобы наглядно в этом убедиться, нужно всего лишь допустить, что Ь = 0 в первом выражении и что Ь = 1 во втором выражении.

10.  Принцип композиции :

[( a < b ) . ( c < d )] ⊃ ( ac ⊃ bd )

[( a < b ) . ( c < d )] ⊃ [( a + c ) < ( b + d )].

Здесь мы, как обычно, используем символ «⊃» для обозначения отношения импликации и точку («.») для обозначения совместного утверждения обоих суждений. Первое выражение читается так: «Если а включен в b и с включен в d , то логическое произведение а и с включено в логическое произведение b и d .

11.  Принцип силлогизма :

[( a < b ) . ( b < c )] ⊃ ( a < c ).

Если а включен в Ь и Ь включен в с, то а включен в с. Отношение «включен в» тем самым задается как транзитивное.

Выражение традиционных категорических суждений

Теперь выразим символически каждый из четырех видов категорических суждений.

Суждение «все а суть b» может быть выражено как «(а < b)». Более того, можно показать, что эта запись эквивалентна записи «(аb = 0)». Поэтому мы получаем: «(а <

) ≡ (

= 0)».

Суждение «ни один а не есть b» эквивалентно суждению «все а суть не‑». Следовательно, символически эта запись может быть выражена как «(a <

)». Однако данное выражение эквивалентно выражению «(ab = 0)», так что можно получить и следующую запись: «(a <

) ≡ (ab = 0)».

Частные суждения противоречат общим, и поэтому в них отрицается то, что утверждается в общих. Поэтому в суждении «некоторые а суть Ь» отрицается то, что ни один а не есть Ь (символически: a <

). Это обстоятельство может быть выражено как «(a <

)′» или как «(ab ≠ 0).

Суждение «некоторые а не суть b» должно противоречить суждению (а < b). Следовательно, его можно выразить как «(a < b)′» или как «(

≠ 0)».

Каждая из этих четырех символических форм должна быть знакома читателю по проведенному ранее анализу категорических суждений.