Введение в логику и научный метод

Доказательство теоремы де Моргана В рамках данной книги мы не можем развить исчисление классов, с тем чтобы показать его огромные возможности. Однако мы хотели бы проиллюстрировать природу доказательства в этом исчислении, предложив демонстрацию теоремы де Моргана применительно к классам.

Нам нужно найти дополнение к классу (a + Ь).

В силу принципа исключенного третьего a + 

= 1 и Ь + 

= 1. Также, согласно принципу упрощения, 1x1 = 1 и  ∴  (а +

) (Ь +

) = 1. Используя принципы дистрибуции и ассоциации, вышесказанное можно записать так: (ab + 

+

) + (

) = 1.

Теперь рассмотрим классы (ab + 

+

) и (

). Они исчерпывают универсум, поскольку их сумма равняется 1; они также являются взаимоисключающими, поскольку их произведение равняется 0. Поэтому любой из них является дополнением другого.

Однако, согласно принципу тавтологии, ab + 

+ 

= ab + 

+ 

+ ab. Правая часть, по принципу дистрибуции, равна а (Ь +

) + Ь (а +

) = а + Ь. Следовательно, поскольку (

) является дополнением к (ab + 

+

), который, в свою очередь, равен (а + Ь), то, значит, (

) также равен и (а + Ь).

Следовательно, мы получаем (

) = (

), что является одной из форм теоремы де Моргана.

Теперь попробуем получить дополнение к ab.

Используя аргумент, тождественный только что приведенному, (ab) и (

+ 

+

) являются дополнениями друг к другу. Также мы имеем:

Следовательно, (

) = 

+

. Это вторая форма теоремы де Моргана. Эти результаты могут быть обобщены для любого конечного числа классов. Так:

и

§ 6. Исчисление суждений

Исчисление суждений изначально разрабатывалось как еще одна интерпретация символов, применяемых в теории классов. В определенной мере оба эти исчисления обладают тождественной формальной структурой, и каждое суждение в теории классов обладает соответствующим ему суждением в теории суждений, которое можно получить, используя подходящую интерпретацию. Приведенная ниже таблица может быть использована в качестве словаря для перевода теорем исчисления классов в теоремы исчисления суждений:

С помощью данного словаря все принципы, истинные относительно классов, могут быть сформулированы в иных символах и будут также истинны относительно суждений.

Несмотря на то что данный подход позволяет проявить формальные аналогии между двумя исчислениями, он, тем не менее, имеет несколько недостатков. Во-первых, как уже упоминалось, существует несколько теорем, которые являются истинными в случае, если термины обозначают суждения, и ложными, если они обозначают классы. Рассмотрим следующую теорему: если р имплицирует q или r, то р имплицирует q или р имплицирует r. Символически она записывается как [ p ⊃ ( q ∨ r )] ⊃ [( p ⊃ q ) ∨ ( p ⊃ r )] и является истинной для суждений. Однако если рассматривать ее применительно к классам, то она будет ложной. Например, неверно, что если все англичане являются либо мужчинами, либо женщинами, то все англичане являются мужчинами и все англичане являются женщинами.

Более серьезное возражение проистекает из того факта, что при разработке исчисления суждений мы хотим перечислить все используемые принципы вывода. Если мы будем развивать теорию суждений систематическим и дедуктивным образом, начиная с ряда недоказанных принципов для суждений, мы сможем доказать любой другой принцип. Если мы будем при этом достаточно осмотрительны, то сможем уберечь себя от опасности использования какого-либо принципа вывода, который мы не доказали бы ранее или не ввели в качестве допущения. Следовательно, действуя таким образом, мы можем достигнуть удовлетворительной систематизации логических принципов. Однако если мы используем исчисление классов в качестве основы для разработки теории суждений, то мы не сможем использовать данный метод получения всех принципов вывода.

Как и в исчислении классов, где все последние рассматривались относительно своих объемов, в исчислении суждений все суждения анализируются только относительно своих истинностных значений, а не относительно конкретного значения, которое в них утверждается. Читателю следует это четко уяснить, с тем чтобы не совершать грубых ошибок.

Проиллюстрируем сказанное на примере анализа определения термина «импликация», которое часто приводится в дискуссиях по символической логике, ( p ⊃ q ) определяется как то, что эквивалентно ( p ′ ∨ q ) или ( p . q ′)′. Словами: « p имплицирует q » истинно, если «

или q » истинно.

Но «