Поставив рядом три блюдца, брат положил в первое блюдце стопку монет: внизу рублевую, на ней – полтинник, выше двугривенный, потом пятиалтынный и гривенник.
– Всю эту горку из пяти монет нужно перенести на третье блюдце, соблюдая следующие правила. Первое правило: за один раз перекладывать только одну монету. Второе: никогда не класть большой монеты на меньшую. Третье: можно временно класть монеты и на среднюю тарелку, соблюдая оба правила, но к концу игры все монеты должны очутиться на третьем блюдце в первоначальном порядке. Правила, как видишь, несложные. А теперь приступай к делу.
Я принялся перекладывать. Положил гривенник на третье блюдце, пятиалтынный на среднее, и запнулся. Куда положить двугривенный? Ведь он крупнее и гривенника и пятиалтынного.
– Ну что же? – выручил меня брат. – Клади гривенник на среднее блюдце, на пятиалтынный. Тогда для двугривенного освободится третье блюдце.
Я так и сделал. Но дальше новое затруднение. Куда положить полтинник? Впрочем, я скоро догадался: перенес сначала гривенник на первое блюдце, пятиалтынный на третье и затем гривенник тоже на третье. Теперь полтинник можно положить на свободное среднее блюдце. Дальше, после длинного ряда перекладываний, мне удалось перенести также рублевую монету с первого блюдца и, наконец, собрать всю кучку монет на третьем блюдце.
– Сколько же ты проделал всех перекладываний? – спросил брат, одобрив мою работу.
– Не считал.
– Давай сосчитаем. Ведь интересно же знать, каким наименьшим числом ходов можно достигнуть нашей цели. Если бы кучка состояла не из 5-ти, а только из 2-х монет – пятиалтынного и гривенника, то сколько понадобилось бы ходов?
– Три: гривенник на среднее блюдце, пятиалтынный – на третье и затем гривенник на третье блюдце.
– Правильно. Прибавим теперь еще монету – двугривенный – и сосчитаем, сколькими ходами можно перенести кучку из этих монет. Поступаем так: сначала последовательно переносим меньшие две монеты на среднее блюдце. Для этого нужно, как мы уже знаем, 3 хода. Затем перекладываем двугривенный на свободное третье блюдце – 1 ход. А тогда перекладываем обе монеты со среднего блюдца тоже на третье – еще 3 хода. Итого всех ходов 3 + 1 + 3 = 7.
– Для четырех монет позволь мне сосчитать самому число ходов. Сначала переношу 3 меньшие монеты на среднее блюдце – 7 ходов; потом полтинник на третье блюдце – 1 ход, и затем снова 3 меньшие монеты на третье блюдце – еще 7 ходов. Итого 7 + 1 + 7 = 15.
– Отлично. А для пяти монет?
– 15 + 1 + 15 = 31.
– Ну, вот ты и уловил способ вычисления. Но я покажу тебе, как можно его еще упростить. Заметь, что полученные нами числа 3, 7, 15, 31 – все представляют собою двойку, умноженную на себя один или несколько раз, но без единицы. Смотри!
И брат написал табличку:
– Понимаю: сколько монет перекладывается, столько раз берется двойка множителем, а затем отнимается единица. Я мог бы теперь вычислить число ходов для любой кучки монет. Например, для 7 монет:
– Вот ты и постиг эту старинную игру. Одно только практическое правило надо тебе еще знать: если в кучке нечетное число монет, то первую монету перекладывают на третье блюдце; если четное – то на среднее блюдце.
– Ты сказал: старинная игра. Разве ты не сам ее придумал?
– Нет, я только применил ее к монетам. Сама же игра очень древнего происхождения и зародилась, вероятно, в Индии. Там существует преинтересная легенда, связанная с этой игрой. В городе Бенаресе имеется будто бы храм, в котором индусский бог Брама при сотворении мира установил три алмазных палочки и надел на одну из них 64 золотых кружка: самый большой внизу, а каждый следующий меньше предыдущего. Жрецы храма обязаны без устали, днем и ночью, перекладывать эти кружки с одной палочки на другую, пользуясь третьей как вспомогательной и соблюдая правила нашей игры: переносить зараз только один кружок и не класть большего на меньший. Легенда говорит, что, когда будут перенесены все 64 кружка, наступит конец мира.
– О, значит, мир давно уж должен был погибнуть, если верить этому преданию!
– Ты думаешь, кажется, что перенесение 64 кружков не должно отнять много времени?
– Конечно. Делая каждую секунду один ход, можно ведь в час успеть проделать 3600 перенесений.
– Ну и что же?
– А в сутки – около ста тысяч. В десять дней – миллион ходов. Миллионом же ходов можно наверное перенести не 64 кружка, а хоть целую тысячу.
– Ошибаешься. Чтобы перенести 64 кружка, нужно круглым счетом 500 миллиардов лет!
– Но почему это? Ведь число ходов равно только произведению 64 двоек, а это составляет…
– «Только» 18 триллионов с лишком, если называть триллионом миллион миллионов миллионов.
– Погоди, я сейчас перемножу и проверю.
– Прекрасно. А пока будешь умножать, я успею сходить по своим делам.