Закат Европы

Та же точка зрения противопоставляется шпенглеровскому историческому релятивизму и всеми прочими его критиками. Заниматься отвлеченным разбором этой концепции не стоит; гораздо интереснее посмотреть, насколько плодотворной оказывается она на практике, в конкретных попытках восстановить подлинную физиономию культур и культурных типов, якобы искаженных "односторонностью" и "крайностью" Шпенглера. Для образчика я возьму ту область, в которой субъективный произвол интерпретации имеет наименьше простора, в которой поэтому легче дать в немногих строках реферат исследования без существенных упрощений и извращений, - а именно, область математики.

Шпенглеровскому пониманию античной и западной математики отводит не мало страниц своей книги Леонгард Нельсон; этой же проблеме посвятил в "Logos'e" специальную статью гейдельбергский проф. Эрих Франк. Э. Франк, не отрицая своеобразия античной математики, старается показать, что Шпенглер произвольно упрощает ее стиль, называя ее "эвклидовской", и тем самым вырывает несуществующую пропасть между математическим мышлением древнего грека и современного европейца. Подробно останавливаясь на недавно открытом письме Архимеда к Эратосфену, Франк указывает, что излагаемый здесь Архимедом метод вычисления площади параболы, вопреки Шпенглеру, совершенно чужд эвклидовского строя ума и почти в точности совпадает с методом определенных интегралов, изобретенным Лейбницем. Но Архимед не только описывает свой метод, но и называет своих предшественников. При этом оказывается, что уже Демокрит определяя объем пирамиды и конуса, рассекал исследуемые геометрические тела параллельными плоскостями на бесконечное число бесконечно тонких слоев, предвосхитив таким образом принцип Кавальери. Следовательно, западно-европейское исчисление бесконечно-малых отнюдь не чуждо эллинскому духу; напротив, оно зародилось в Элладе в эпоху расцвета ее культуры и, развиваясь в течение веков, достигло такого совершенства у Архимеда, что этого последнего можно с полным правом назвать отцом современного "высшего анализа". Далее, уже Теэтет развивает учение об иррациональных величинах, а Эвдокс дает ему законченную форму, - чем явно опровергается утверждение Шпенглера, что понятие иррационального неведомо античной математике. Вообще все основные элементы и приемы западно-европейской математики мы находим в более или менее развитом виде у древних греков; математическое мышление последних отлично от нашего не по существу, а лишь по форме выражения; так, например, ту самую идею, которую мы выражаем в алгебраических символах (a+b)¤=a¤+2ab+b¤ греки выражали геометрическим построением "гномон" и т. п. Книги Эвклида вовсе не энциклопедия греческой математи ишь элементарный школьный учебник, который должны были усвоить вступающие в академию, прежде чем приступить к самостоятельным научным занятиям.

Присмотримся однако несколько ближе к этим фактам, на первый взгляд столь уничтожающим для концепции Шпенглера. Уже Демокрит, предвосхищая принцип Кавальери, нашел, что объем пирамиды составляет одну треть объема призмы с равновеликим основанием. Но греческая мысль не усмотрела в этом приеме исследования никаких опорных пунктов для того, чтобы превратить его в строго обоснованный, научно-доказательный метод. Доказанной для эллинского ума теорема Демокрита стала лишь с того момента, когда Эвдоксу удалось обосновать ее без всякой помощи бесконечно большого числа бесконечно малых величин, но путем рассечения конечных фигур на конечные части, т.-е. строго придерживаясь наглядно-геометрического "эвклидовского" стиля. Любопытно, что и сам Архимед, которого Э. Франк готов провозгласить отцом интегрального исчисления, как нельзя более далек от мысли, что его способ расчленения площадей на бесконечно тонкие прямоугольники может явиться началом новой системы в области научного познания. Напротив, в том же письме к Эратосфену, он спешит оговориться, что добытые им результаты "должны быть еще геометрически доказаны, так как применяемый им метод сам по себе еще не способен дать строгого доказательства".

Совершенно очевидно, что греческие ученые, применявшие в течение ряда веков метод суммирования бесконечно малых, все время рассматривали этот метод как чисто технический прием, как предварительную прикидку, по самому существу своему лишенную научного значения. За все это время никому из них и в голову не пришло, что в основе такого приема лежит не менее строгая научная достоверность, чем в основе любой чисто "геометрической".

Чем же объяснить такую поразительную недогадливость? Приписать ее недостаточной изощренности интеллекта или бедности математической фантазии нельзя, ибо обоими этими качествами античные мыслители обладали в избытке. Остается лишь одно объяснение, то самое, какое дает Шпенглер: исчисление бесконечно-малых не развилось в античном мире потому, что его принципы противоречат самым основам античного мировосприятия, самому стилю античного ума.