Закат Европы. Образ и действительность. Том1

античное существование окружило себя как бы защитной стеной, за пределами которой лежало что-то жуткое, бездна и первоисточник в известной мере искусственно созданного и утвержденного космоса, — кто поймет это чувство, тому станет понятным основная сущность античного числа, являвшего собой меру в противоположность неизмеримому, а также глубокий религиозный этос, выражающийся в этом ограничении. Гёте в качестве художника с большой страстностью усвоил себе, по крайней мере в своих естественно-исторических исследованиях, эту точку зрения; отсюда его, можно сказать, исполненная страхом полемика против математики, инстинктивно направленная главным образом, чего еще никто как следует не понял, против всей неантичной математики и лежавшего в основе современного ему естествознания счисления

бесконечно малых.

Античная религиозность с возрастающей определенностью

сосредоточивается на чувственно непосредственных — связанных с местом — культах, вполне отражающих это наделенное образом, всегда близкое, божество. Абстрактные, в бесприютных пространствах мышления витающие догматы всегда оставались ей чуждыми. Культ и догмат относятся друг к другу, как статуя к органу в соборе. В Эвклидовой математике, несомненно, остается что-то культовое. Достаточно припомнить учение о правильных многогранниках и их значение для эзотерики платоновской школы. Этому соответствует, с другой стороны, глубокое сродство анализа бесконечности начиная с Декарта с современной ему догматикой, устремляющейся к чистому, освобожденному от всяких чувственных отношений деизму. Вольтер, Лагранж и д'Аламбер современники. Из недр античного духа принцип иррационального, т. е. разрушение статуарного ряда целых чисел, этих представителей совершенного в себе миропорядка, воспринимали как некоего рода святотатство против божества. У Платона в «Тимее» это чувство выступает с полной очевидностью. Действительно, с превращением прерывающегося числового ряда в непрерывный, оказывается под вопросом не только античное понятие числа, но и весь античный мир. Становится понятным, что для античной математики совершенно невозможны легко укладывающиеся в наше представление отрицательные числа, не говоря уже о нуле как числе — обладающем для индийской души, впервые создавшей это понятие, вполне определенным метафизическим привкусом. Отрицательные величины не существуют. Выражение: -2? -3 =+6 не является ни наглядным, ни представлением величины. На +1 кончается ряд величин. В графическом

123

изображении отрицательных чисел (+3-,+2-,+1-,0-,-1-,-2-,-3,),

начиная с нуля расстояния вдруг становятся положительными символами чего-то отрицательного. Они обозначают

что-то, но уже не существуют реально. Отрицательные числа не величины, но что-то такое, на что величины только намекают. Осуществление этого акта отклоняется от линий направления античного числового мышления.

Все родившееся из античного духа становится действительностью только путем пластического отграничения. То, что нельзя нарисовать, — не «число». Платон, Архит и Эвдокс говорят о плоскостных и телесных числах, имея в виду нашу вторую или третью степень, и, само собой разумеется, что понятие высших целых степеней для них не существует. Четвертая степень для являющегося по существу своему пластическим чувства, которое тотчас же истолкует ее как протяженность в четырех измерениях, становится бессмыслицей. Постоянно встречающееся в наших формулах выражение е-ix, или даже применявшиеся уже в XIV столетие Оресмом обозначение 51/2 показалось бы античному чувству полным абсурдом. Эвклид называет множители произведения сторонами (???????). В древности оперируют с дробями — конечными само собою разумеется — прибегая к исследованию отношения двух отрезков прямой линии, выражающихся в целых числах. Именно поэтому идея числа нуль тут совершенно не может проявиться, так как графически она бессмысленна. Пусть не возражают, исходя из привычного способа мышления, что это только "первоначальная ступень" в развитии математики. Внутри того мира, который античность создала вокруг себя, античная математика есть нечто законченное. Незаконченной она представляется только нам. Вавилонская и индийская математики давно уже усвоили в качестве существенных элементов своего мира чисел многое из того, что с

точки зрения античного числового чувства являлось бы бессмысленным, и многие греческие мыслители знали об этом. Единая математика, повторяем это еще раз, есть иллюзия. Действительно только то, что адекватно ей, символически значительно для собственной душевной жизни. Только это представляется логически необходимым, все остальное невозможным, ошибочным, бессмысленным, или, как мы привыкли, руководясь гордостью исторического ума, называть «примитивным». Современная математика, одно из высших достижений западного духа — и во всяком случае «истинная» только для нас — показалась бы Платону смешным и бесплодным заблуждением и уклонением на пути к достижению «истинной», конечно, в античном смысле математики, и

124