Закат Европы. Образ и действительность. Том1

каждого из этих комплексов. Взаимоотношение величин называется пропорцией, взаимоотношение отношений заключается в сущности функции. За пределами математики оба эти слова имеют глубокое значение для техники обоих соответствующих искусств — пластики и музыки. Если даже не принимать во внимание значение слова «пропорция» в применении к отдельной статуе, как раз наиболее типичные произведения античного искусства, статуя, рельеф и фрески, допускают увеличение или уменьшение масштаба, но слова эти не имеют никакого смысла в применении к музыке, искусству беспредельного. Достаточно вспомнить искусство гемм, сюжеты которого были уменьшениями пластики натуральной величины. С другой стороны, в области теории функций решающее значение имеет понятие трансформации групп, и всякий музыкант подтвердит, что аналогичные образования составляют существенную часть новейшего учения о композиции. Я ограничусь примером одной из наиболее тонких инструментальных форм XVIII в., а именно "tema con variazioni".

Всякая пропорция предполагает постоянство элементов,

всякая трансформация — их изменчивость: достаточно сравнить теоремы о подобии у Эвклида, доказательство которых в действительности основано на наличии отношения 1:1, с современным их выводом при помощи круговых функций.

14

Конструкция — в широком смысле охватывающая все методы элементарной арифметики — есть альфа и омега античной математики: она равносильна установлению определенного и видимого объекта. Циркуль есть резец этого второго пластического искусства. Способ работы при изысканиях в области теории функций, ставящих себе целью не определенный результат, имеющий характер величины, а исследование общих формальных возможностей, можно обозначить как известный вид теории композиции, находящийся в близком сродстве с музыкальной композицией. Целый ряд понятий из области теории музыки можно было бы также прямо применить к аналитическим операциям физики — тональность, фразировка, хроматичность, а также другие — и вопрос, не сделаются ли благодаря этому многие отношения более удобообозримыми.

Всякая конструкция утверждает видимость, всякая операция отрицает ее, так как первая вырабатывает оптические

147

данные, вторая же их разрушает. Таким образом, вскрывается дальнейшая противоположность обоих видов математических приемов: античная математика малых рассматривает конкретный отдельный случай, решает определенную задачу, выполняет единичную конструкцию. Математика бесконечного рассматривает целые классы формальных возможностей, группы функций, операций, уравнений, кривых, причем имеет в виду не определенный результат, но само протекание процесса. Около двухсот лет тому назад — факт, о котором почти не думают наши математики — возникла идея общей морфологии математических операций, которую и следует признать за сущность новой математики. В ней вскрывается общая широкая тенденция западного духа, становящаяся со временем все более ясной, — тенденция, являющаяся исключительным достоянием фаустовского духа и его культуры и не имеющая подобия в устремлениях других культур. Большинство вопросов, являющихся насущными проблемами нашей математики — соответственно квадратуре круга у греков, как-то: исследование критерия сходимости бесконечных рядов (Коши) или обращение эллиптических и общеалгебраических интегралов в многократные периодические функции (Абель, Гаусс), вероятно, показалось бы «древним», искавшим в качестве результатов определенных величин, остроумной и несколько причудливой забавой — суждение соответствующее также и теперешнему общепринятому мнению широких кругов. Нет ничего столь же непопулярного, как современная математика, и в этом есть также своя доля символики бесконечной дали, расстояния. Все великие произведения Запада, начиная с Данте до «Парсифаля», непопулярны, наоборот, все античные, начиная с Гомера до Пергамского алтаря, популярны в высшей степени.

15

Наконец, все содержание западного числового мышления

объединяется в одной классической проблеме, являющейся

ключом к трудноусвояемому понятию бесконечности — фаустовской бесконечности, отличной от бесконечности арабского и индийского мирочувствования. Речь идет о теории предела вообще, независимо от частных случаев, когда число рассматривается как бесконечный ряд, как кривая или функция. Этот предел является полной противоположностью античному, который до сих пор не назвали этим именем и который выражается в неподвижно ограниченной плоскости измеримой величины. До самого XVIII века эвклидовски-популярные

148