Закат Европы. Образ и действительность. Том1

чувственности, царят открываемые анализом отношения, которые находятся в постоянном согласовании с данными экспериментальной физики. Эта пространственность высшего порядка есть символ, являющийся исключительным достоянием западного духа. Заключить ставшее и протяженное в эти формы, заклясть чуждый элемент в этот способ усвоения — припомним понятие «табу», — подчинить его своей власти и таким образом «познать» — это поставил себе целью и осуществил один только западный дух. Только в этой сфере числового мышления, открытой для понимания лишь очень ограниченного круга людей — но также обстоит дело и с глубочайшими моментами нашей музыки, нашей живописи и нашей догматики — даже такие образования, как система гиперкомплексных чисел (вроде кватерньонов в векториальном счислении) и на первый взгляд совершенно непонятные знаки, как? получают характер чего-то действительного. Следует уяснить себе, что действительность не есть только чувственная действительность, но что дух в гораздо большей степени может осуществлять свою идею в совершенно иных образованиях, кроме наглядных.

18

Из этой величественной интуиции символических миров

пространств вытекает последняя и заключительная формулировка западной математики, расширение и одухотворение теории функций и превращение ее в теорию групп. Группы суть множества или совокупности однообразных математических образований, например совокупность всех дифференциальных уравнений определенного типа, построенные и приведенные в порядок аналогично Дедекиндовому числовому телу. По-видимому, речь идет о целых мирах новых чисел, не лишенных для внутреннего зрения посвященных признаков известной наглядности. Предстоит исследовать некоторые элементы этих необычайно абстрактных систем форм, остающихся по отношению к известной группе операций — а именно: трансформаций системы — независимыми от

* С точки зрения учения о множествах приведенное в порядок множество, безотносительно к числу измерений, называется телом, множество п-1 измерений называется, следовательно, по отношению к первой плоскостью. «Ограничение» (стена, грань) множества точек представляет собой множество точек меньшей мощности.

153

действия последних и обладающих неизменяемостью. Общая

задача этой математики выражается, следовательно, в такой

форме (по Клейну): "Дано некоторое множество ("пространство") n-ного количества измерений и группа трансформаций.

Надлежит произвести исследование принадлежащих к этому

множеству образований в отношении тех свойств, которые

при трансформациях группы останутся неизменными".

Теперь на этой высочайшей точке достижения — истощив

все свои внутренние возможности и исполнив свое назначение быть отражением и чистейшим выражением идеи фаустовской души — математика Запада заканчивает свое развитие, совершенно так же, как это сделала математика античной культуры в III веке. Обе эти науки — это единственные, чью органическую структуру уже в настоящее время можно проследить с исторической точки зрения, — возникли из совершенно новых числовых концепций Пифагора и Декарта, обе после столетия великолепного восхождения достигли зрелости и обе в течение трехсотлетнего расцвета завершили построение своих идей как раз к тому моменту, когда культура, к которой они принадлежали, перешла в цивилизацию мирового города. Эта глубокая зависимость будет разъяснена позднее. Достоверно, что время большой математики для нас окончено. Теперь идет работа сохранения, округления, уточнения, выбирания, талантливая ювелирная работа, заменившая великое созидание, подобно тому, как эпоху позднего эллинизма отмечает александрийская математика.

Нагляднее представить это положение поможет нижеследующая историческая схема.

ГЛАВА ВТОРАЯ ПРОБЛЕМА МИРОВОЙ ИСТОРИИ

I ФИЗИОГНОМИКА И СИСТЕМАТИКА

1

Теперь, наконец, возможно сделать решительный шаг и

набросать картину истории, которая не будет зависеть от случайного местонахождения зрителя в пределах какой-нибудь — т. е. его — «современности» и от его свойств, как заинтересованного члена отдельной культуры, чьи религиозные, умственные, политические тенденции соблазняют его распределить исторический материал под углом зрения ограниченной во времени перспективы и, таким образом, навязать организму свершения произвольную и внутренне чуждую ему поверхностную форму.

До сего времени главным недостатком этой картины было отсутствие дистанции от предмета. По отношению к природе нужная дистанция была давно достигнута. Конечно, последнее было легче осуществимо. Физик естественно строит механически-причинную картину своего мира так, как будто бы самого наблюдателя совсем не было.