Закат Европы. Образ и действительность

Стоит уяснить себе существенную разницу двух уравнений – так, гетерогенные вещи не следовало бы даже обозначать одинаковым именем, – как следующие: 3x + 4 x = 5 x и x x +y x = z x (уравнение Ферматовой теоремы). Первое состоит из нескольких "античных чисел" (величин), второе само по себе есть число особого рода, причем это обстоятельство затушевано идентичным способом начертания, развившегося под впечатлением эвклидовско-архимедовских представлений. В первом случае знак равенства устанавливает неподвижную связь между определенными, осязаемыми величинами, во втором он выражает отношение, существующее внутри группы изменяющихся образований, причем одни изменения безусловно влекут за собою другие. Первое уравнение имеет целью определение (измерение) конкретной величины, т. е. известное «решение», второе не преследует вообще никакого решения, но является изображением и знаком определенного отношения, исключающего при условии n › 2- в этом и заключается знаменитая Ферматова проблема – с доказуемой вероятностью значения, выражающиеся целыми числами. Греческий математик не понял бы, каков смысл этой операции, не имеющей конечной целью никакого "вычисления".

Понятие неизвестных, будучи применено к буквам Ферматова уравнения, вводит в полнейшее заблуждение. В первом уравнении, в «античном», х есть величина определенная и измеряемая, которую предстоит определить. Во втором, в применении к х, у, z, n слово «определять» не имеет никакого смысла, следовательно, имеется в виду отыскать «значение» этих символов, следовательно, они вообще не являются числами в пластическом смысле, но знаками для определенного отношения, лишенного признаков величины, формы и единой значимости, для бесконечного множества возможных положений одинакового характера, и эти возможности, воспринятые, как нечто единое, и есть число. В нашем способе начертания, применяющем, к сожалению, многочисленные и сбивающие с толку знаки, все это уравнение является в действительности одним числом, а х, у, z являются числом в такой же малой мере, как + или =.

Уже введение понятия иррациональных, в сущности своей совершенно антиэллинских чисел, в самой его основе разрушило понятие конкретных, определенных чисел. С этого момента числа перестали быть обозримым рядом возрастающих, раздельных, пластических величин и превратились в непрерывность одного измерения, каждое сечение которой (выражаясь словами Дедекинда) представляет "число, едва ли по праву заслуживающее прежнее наименование". Для античного разумения между 1 и 3 существует только одно число, для западноевропейского – бесконечное множество. Наконец, вместе с введением в употребление мнимых (v-1= i) и комплексных чисел (изображаемых общей формулой а + bi), расширяющих линейную непрерывность до пределов в высшей степени трансцендентального образования числового тела (некоторая совокупность множества однородных элементов), каждое сечение которого представляет собою числовую плоскость, – некое бесконечное множество меньшей «мощности», вроде совокупности всех реальных чисел, – исчезли даже последние остатки антично-популярной осязаемости. Эти числовые плоскости, играющие начиная с Коши и Гаусса видную роль в теории функции, являются чисто умственными образованиями. Еще положительные иррациональные числа, как v2, могли быть усвоены античным числовым мышлением по крайней мере негативным путем, причем их не считали бы за числа, как??? ???? или?????? но выражения вида х + уi лежат по ту сторону всех возможностей античного мышления. На распространении арифметических законов на всю область комплекса, в пределах которого они имеют постоянную применимость, основана теория функций, отныне выражающая западноевропейскую математику во всей ее чистоте, причем все отдельные области ею поглощаются и в ней растворяются. Только таким образом эта математика становится вполне применимой к картине одновременно развивающейся динамической физике Запада, в то время как античная математика является точным коррелатом пластического мира отдельных предметов, изображенного в статической физике Аристотеля, представляющей собой научную интерпретацию античного космоса.

Классической эпохой этой математики барокко – в противоположность математике ионического стиля – является XVIII век; она начинается с решительных открытий Ньютона и Лейбница, и через Эйлера, Лагранжа, Лапласа и д'Аламбера простирается до Гаусса. Расцвет этого великого создания мысли был похож на чудо. Едва решались верить тому, что видели. Открывали истины за истинами, казавшиеся проницательным умам скептически настроенной эпохи невозможными. Такое значение имеют слова д'Аламбера: "Allez en avant et la foi vous viendra". Они касались теории дифференциальных дробей. Казалось, сама логика восстает против этого, казалось, все предположения основаны на ошибках, и все же цель была достигнута.