Закат Западного мира. Очерки морфологии мировой истории. Том 1

На пути развития этой математики должен был наконец наступить момент, когда не только границы искусственных геометрических построений, но и границы зрения вообще должны были восприниматься – как теорией, так и самой душой в ее порыве к безудержному выражению собственных внутренних возможностей – как предел, как помеха и когда, таким образом, идеал трансцендентной протяженности вступил в принципиальное противоречие с ограниченными возможностями непосредственной видимости. Античная душа, со всей самоотдачей платонической и стоической ἀθαραξία допускавшая значимость и господство чувственного начала, – эта душа, скорее воспринимавшая, нежели навязывавшая свои великие символы, как видно из подспудного эротического смысла пифагорейских чисел, никогда не испытывала желания перешагнуть пределы также и телесных здесь и теперь. Однако если пифагорейское число открылось в сущности данных единичных вещей в природе, то число Декарта и математиков, следовавших за ним, было чем-то таким, что следовало завоевать и вырвать силой, властным абстрактным отношением, независимым от всей чувственной данности и постоянно готовым к тому, чтобы заявить об этой своей независимости перед лицом природы. Воля к власти (если прибегнуть к великой формуле Ницше), которая является характерной чертой северной души в ее отношении к собственному миру начиная с наиболее ранней готики «Эдды», соборов и Крестовых походов, да собственно с завоевателей викингов и готов, заложена также и в этой энергии западного числа по отношению к созерцанию. Это и есть «динамика». В аполлонической математике дух служит зрению, в фаустовской – он его преодолевает.

Само математическое, такое неантичное, «абсолютное» пространство (в своем благоговении перед греческими традициями математика не отважилась это заметить) с самого начала было не неопределенной пространственностью повседневных впечатлений, общепринятой живописи, якобы столь однозначного и определенного априорного созерцания Канта, но чистой абстракцией, идеальным и неисполнимым постулатом души, которая все меньше удовлетворялась чувственностью как средством выражения и в конце концов страстно от нее отвратилась. Пробудилось внутреннее зрение.

Лишь теперь глубокие мыслители должны были почувствовать, что евклидова геометрия, единственная правильная геометрия для наивного наблюдателя во все времена, будучи рассмотрена с этой высшей точки зрения, оказывается всего только гипотезой, чья исключительная значимость в сравнении с другими, также совершенно не наглядными видами геометрий, как мы это определенно знаем со времен Гаусса, никогда не может быть доказана. Фундаментальное положение этой геометрии, аксиома Евклида о параллельных линиях, является утверждением, которое может быть заменено другими, а именно что через данную точку вообще нельзя провести прямую, параллельную данной, либо что таких прямых две или множество. Все это утверждения, приводящие к совершенно непротиворечивым трехмерным геометрическим системам, которые можно применять в физике и астрономии, и иногда их следует предпочитать геометрии Евклида.

Уже простое требование неограниченности всего протяженного (откуда пришлось – со времен Римана и его теории неограниченного, однако не бесконечного по причине кривизны пространства – удалить как раз таки бесконечность) противоречит подлинному характеру всякого непосредственного созерцания, которое зависит от наличия световых сопротивлений, т. е. от материальных границ. Однако мыслимы абстрактные принципы ограничения, которые превосходят возможности оптического ограничения в совершенно новом смысле. Для тех, кто способен заглянуть поглубже, уже в картезианской геометрии заложена тенденция к тому, чтобы выйти из трех измерений переживаемого пространства как из пределов, не имеющих для символики чисел никакой необходимости. И пусть даже представление о многомерных пространствах (это слово следовало бы заменить чем-то новым) стало расширенным основанием аналитического мышления примерно с 1800 г., но ведь первый шаг к этому был сделан в то мгновение, когда степени, а точнее, логарифмы были отделены от их первоначальной связи с вещественно осуществимыми поверхностями и телами и – при применении иррациональных и комплексных показателей – введены в область функционального как значения отношений совершенно общего рода. Кто вообще способен сюда последовать, поймет также и то, что уже с шагом от представления а³ как естественного максимума к аⁿ безусловность пространства с тремя измерениями оказывается снятой.