Закат Западного мира. Очерки морфологии мировой истории. Том 1

Стоило точке как пространственному элементу утратить все еще оптический характер координатного сечения в зрительно представимой системе и быть определенной как группа из трех независимых чисел, как не стало больше никаких препятствий для того, чтобы заменить число 3 общим п. Произошло перевертывание понятия измерения: теперь оно обозначает уже не числовую меру оптических свойств точки в отношении ее положения в системе, но неограниченные по количеству измерения представляют собой совершенно абстрактные свойства группы чисел. Эта группа чисел, образованная п независимых упорядоченных элементов, является образом точки; она называется точкой. Логически выведенное отсюда уравнение называется плоскостью, является образом плоскости. Совокупность всех точек в п измерений называется n-мерным пространством[62]. В этих трансцендентных пространственных мирах, которые более не находятся в каком-либо соотношении ни с какой чувственностью, господствуют отыскиваемые анализом отношения, находящиеся в неизменном соответствии с результатами экспериментальной физики. Эта пространственность высшего порядка представляет собой символ, являющийся безраздельным достоянием западного духа. Лишь этот дух попытался заворожить ставшее и протяженное в этой форме, заклясть, принудить, а тем самым и «познать» чуждое именно через данный вид присвоения (можно здесь вспомнить о понятии «табу») – и совладал с этой задачей. Только в этой сфере числового мышления, которая все еще доступна лишь чрезвычайно узкому кругу людей, даже такие образования, как система гиперкомплексных чисел (например, кватернионы векторного исчисления) и такие пока что совершенно непонятные символы, как ∞ⁿ, получают характер чего-то реального. То, что действительность – это не одна лишь чувственная действительность, что душевный элемент скорее способен воплощать свою идею в совершенно иных, не наглядных образованиях, – как раз это-то и следует еще усвоить.

18

Из этой величественной интуиции символических пространственных миров следует последняя и заключительная редакция всей западной математики, а именно расширение и одухотворение теории функций до теории групп. Группы представляют собой множества или совокупности однородных математических образований, как, например, совокупность всех дифференциальных уравнений определенного типа, множества, которые построены и упорядочены аналогично Дедекиндовым числовым телам. Возникает ощущение, что речь здесь идет о мирах совершенно иных чисел, не вполне свободных от определенной чувственности для внутреннего зрения посвященных. Необходимы теперь исследования определенных элементов этих колоссальных абстрактных формальных систем, которые остаются независимыми, сохраняют постоянство по отношению к воздействию отдельных групп операций, преобразований системы. Таким образом, общая задача этой математики приобретает (по Клейну) следующий вид: «Даны n-мерное многообразие („пространство“) и группа преобразований. Необходимо исследовать входящие в многообразие образования в отношении тех их свойств, которые не изменяются преобразованиями группы».

И вот теперь на этой высочайшей вершине (исчерпав все свои внутренние возможности и исполнив свое предназначение – быть слепком и чистейшим выражением идеи фаустовской душевности) завершается развитие западной математики – в том же самом смысле, в каком это произошло с античной математикой в III в. Обе эти науки (единственные, чья органическая структура все еще может быть исторически прослежена в наше время) возникли из принадлежавших Пифагору и Декарту концепций совершенно новых чисел; столетием позднее обе, пройдя через великолепный взлет, достигли зрелости, и обе, пройдя через рассвет продолжительностью в три столетия, завершили здание своих идей, – в то же самое время, когда культура, к которой они принадлежали, перешла в цивилизацию мировых столиц. Эта полная глубокого смысла взаимосвязь будет прояснена впоследствии. Несомненно то, что время великих математиков для нас миновало. Ныне происходит та же самая работа по сохранению, закруглению, совершенствованию, отбору – т. е. исполненная таланта мелочная работа взамен великих творений, – что и является характерной особенностью александрийской математики позднего эллинизма.

Прояснить это поможет историческая схема.

Глава вторая. Проблема всемирной истории

I. Физиономика и систематика

1