Закрученные пассажи: Проникая в тайны скрытых размерностей пространства.

Но предположим, что вы ждете 10 секунд, осуществляя свое измерение. Тогда за время, пока ваши часы тикнули 10 раз, из крана капнули 10 капель. Если пользоваться вашим плохим секундомером, точность которого равна 1 секунде, все, что вы можете утверждать, это то, что время, которое потребовалось на появление 10 капель, находится в интервале от 10 до 11 секунд. Ваше измерение, которое опять приведет к утверждению, что капли падают примерно по одной в секунду, будет теперь иметь ошибку лишь 10 %. Это происходит потому, что, ожидая 10 секунд, вы можете измерить частоту появления капель с точностью ¹/₁₀ секунды. Обратите внимание, что произведение времени вашего измерения (10 секунд) и неопределенности в частоте (10 % или 0,1) примерно равно 1. Заметьте также, что произведение неопределенностей в частоте и времени для измерения в первом примере, когда ошибка в измерении частоты (100 %) больше, но измерение занимает меньшее время (1 секунда), также порядка 1.

Можно было бы продолжать в том же духе. Если вы совершаете измерение в течение 100 секунд, вы можете измерить частоту падения капель с точностью 1 капля за 100 секунд. Если вы совершаете измерение в течение 1000 секунд, вы можете измерить частоту падения капель с точностью 1 капля за 1000 секунд. Во всех этих случаях произведение интервала времени, в течение которого вы производите измерение, и точности, с которой вы измеряете частоту, примерно равно 1[72]. Для более точного измерения частоты требуется большее время. Это утверждение лежит в основе соотношения неопределенностей между временем и энергией. Вы можете более точно измерить частоту, но для этого нужно проводить измерения дольше. Произведение времени и неопределенности в частоте всегда порядка 1[73].

Чтобы завершить вывод нашего упрощенного соотношения неопределенностей, заметим, что если вы рассматриваете достаточно простую квантово-механическую систему, например отдельный фотон, ее энергия будет равна постоянной Планка h, умноженной на частоту. Для такого объекта произведение интервала времени, в течение которого вы производите измерения энергии, и неточности в энергии всегда будет превышать h. Вы можете измерить энергию системы с любой желаемой точностью, но ваш эксперимент будет длиться соответственно большее время. Это то же самое соотношение неопределенностей, которое мы только что вывели; дополнительный трюк — всего лишь соотношение квантования, связывающее энергию и частоту.

Два важных значения энергии и что о них говорит соотношение неопределенностей

Мы почти завершили наше введение в основы квантовой механики. В этом и следующем разделах мы рассматриваем два оставшихся элемента квантовой механики, которые будут использоваться в дальнейшем.

В этом разделе не содержится никаких новых физических принципов, а представлено одно важное приложение соотношения неопределенностей и специальной теории относительности. Рассматриваются соотношения между двумя важными значениями энергии и наименьшими масштабами длины физических процессов, которые могут чувствовать частицы с такими энергиями. Физики каждодневно используют эти соотношения. В следующем разделе мы введем спин, бозоны и фермионы — понятия, которые появятся в следующей главе, посвященной Стандартной модели физики частиц, и далее, когда мы будем рассматривать суперсимметрию.

Соотношение неопределенностей для положения и импульса утверждает, что произведение неопределенностей положения и импульса должно быть больше, чем постоянная Планка. Оно утверждает, что нечто, будь то пучок света, частица или любой другой объект или система, которые вы можете представить, чувствительное к физическим процессам, происходящим на малых расстояниях, должно включать большой интервал импульсов (так как неопределенность импульса должна быть весьма велика). В частности, любой объект, чувствительный к таким физическим процессам, должен включать очень большие импульсы. Согласно специальной теории относительности, когда велики импульсы, то велики и энергии. Комбинация этих двух фактов указывает, что единственный способ исследования малых расстояний — использование для этого больших энергий.