Занимательная экономика. Теория экономических механизмов от А до Я

Как говорилось ранее, первым из них является эффективность. Объект, выставленный на продажу, всегда достается участнику с максимальной ставкой. Формально говоря, теорему можно трактовать шире, и вместо эффективности требовать одинаковой функции размещения объекта. Это может быть актуально в случае делимых благ. Например, если на аукционе разыгрывается пакет акций, то можно отдать 80 % акций победителю, а оставшиеся 20 % – указавшему вторую ставку. Но тогда и сравнивать этот аукцион придется исключительно с другими аукционами с такой же функцией размещения 80 на 20. Поэтому, чтобы не усложнять задачу, пока будем рассматривать предположение об эффективности в классическом виде.

Кстати, вопрос, связанный с эффективностью, не вполне очевиден – ведь максимальную ставку может сделать участник аукциона с немаксимальной оценкой. Однако такое может произойти лишь в несимметричном равновесии, когда разные участники пользуются разными стратегиями, а это мы запретим чуть ниже.

Также тут неявно кроется требование о том, что объект ни при каких заявках участников не остается в руках аукциониста при условии, что для последнего он не имеет никакой ценности. В частности, такое требование исключает использование резервной цены, начиная с которой идут торги: ведь при наличии порогового значения существуют реализации оценок участников, при которых объект не будет продан.

Второе требование, отсутствие входного билета, заключается в том, что человек с нулевой оценкой может заявить ноль и остаться при своих. Формально требование должно быть выполнено в среднем, то есть ожидаемый платеж игрока с нулевой ставкой равен нулю. Однако при дополнительном ограничении, что участникам ни при каких обстоятельствах не выплачивают никаких денег, усредненный ноль означает ноль при любых условиях. Точнее, как говорят математики, «почти всегда» – на множестве реализаций, имеющем полную меру. Независимо от распределения оценок и ставок всех остальных участников аукциона, участник, заявивший ноль, платит ноль.

Последнее условие, которое необходимо для справедливости теоремы Майерсона об эквивалентности форматов, заключается в том, что участники аукциона используют одинаковые стратегии ведения борьбы за объект. Иными словами, теорема о равенстве доходов аукциониста при разных форматах проведения аукциона верна при разыгрывании симметричного равновесия.

3.2.2. Доказательство теоремы Майерсона

Докажем теорему Майерсона об эквивалентности форматов. Для этого введем следующие обозначения. Пусть v_i – это оценка i-го участника аукциона. Она является случайной величиной, которая распределена регулярным образом (то есть имеет математическое ожидание и дисперсию) на множестве неотрицательных чисел. Пусть также b_i – это ставка i-го участника. Равновесную стратегию игроков обозначим за s (•). Обращаем внимание: мы сразу же рассматриваем именно равновесную стратегию, опуская весь процесс ее нахождения!

Функцию распределения оценок (то есть типов участников) обозначим за F (•), и в силу симметрии она будет одна и та же для всех – все участники аукциона принципиально неотличимы друг от друга. Априори, то есть до начала проведения аукциона, все n случайных величин v₁,…, v_n распределены независимым образом и неизвестны участникам, однако после показа лота каждый участник узнаёт свое собственное значение v_i.

Теперь применим следующий трюк. Обозначим за M (v) функцию, определяющую ожидаемый в рассматриваемом равновесии s (•) платеж игрока, узнавшего свою оценку v. Таким образом, игрок (и мы вслед за ним) должен усреднить результат своего участия с данной оценкой по множеству всех наборов реализаций оценок прочих участников, то есть на пространстве размерности (n –  1).

Так как все прочие оценки независимы друг от друга, то вопрос сводится к взятию (n –  1) – кратного интеграла по этому множеству как раз от функции платежа m (которая определяется при любых конкретных реализациях правилами аукциона), примененной к набору {s (v_j)}, домноженной на совместную плотность распределения. Последняя, в силу независимости случайных величин, равна произведению плотностей f (v_j) в соответствующих точках v_j, определяющих реализации оценок остальных участников.

С какой вероятностью предмет достанется участнику с оценкой v? В силу требования эффективности аукциона это произойдет в том и только том случае, когда заявка нашего игрока s (v) перебьет все прочие заявки s (v_j). Теперь вступает в игру монотонность функции s (•), одинаковой для всех игроков равновесной стратегии участия. Монотонность позволяет заключить, что участник с оценкой v победит в аукционе и получит предмет только в том случае, когда его оценка окажется максимальной. Таким образом, вероятность победы для участника с оценкой v равняется F ^n–1 (v).