Занимательная математика

— Предположим, что в каждую из четырех стен этой комнаты вбито по одному гвоздю и что, кроме того, по одному гвоздю вбито в ее пол и потолок. Между этими гвоздями требуется натянуть нити. От каждого гвоздя ко всем другим должно быть протянуто по нити. Нити имеются двух цветов — красные и синие. Каждая нить, натянутая между любыми двумя гвоздями, либо красная, либо синяя.

Нити образуют много треугольников, т. е. любые три гвоздя можно рассматривать как вершины некоторого треугольника, а нити, натянутые между этими тремя гвоздями, — как стороны треугольника. Задача заключается в том, чтобы выяснить, можно ли выбрать цвета нитей так, чтобы ни у одного треугольника все три стороны не были одного цвета.

— Очень трудная задача, — задумчиво произнес математик. — Необходимо произвести комбинаторные расчеты, вычислить перестановки, сочетания и т. п. Не думаю, чтобы ты основательно разбирался во всей этой алгебре, Ник.

— А я и не разбираюсь, сэр, — почтительно ответил юный Ник, — но тем не менее могу решить эту задачу.

— Может быть, — согласился математик. — Тогда расскажи нам, как она решается.

— На самом деле задача решается очень просто, — ответил юный Николас. — Необходимо только знать, с чего начать.

Прежде всего скажу вам ответ задачи: всегда найдется по крайней мере один треугольник, все стороны которого одного цвета. Попробую доказать, почему это так.

Рассмотрим любой гвоздь. От него к другим гвоздям должны быть протянуты пять нитей. Какие бы цвета вы ни выбрали, по крайней мере три из них должны быть одного цвета, так как нити могут быть только двух цветов — либо синие, либо красные. Для конкретности предположим, что три нити красные.

Рассмотрим теперь те три гвоздя, которые образуют вершины треугольника, между которыми протянуты эти нити.

Если мы хотим, чтобы три стороны любого треугольника не были одного цвета, то нити, натянутые между этими тремя гвоздями, не должны быть одного цвета. Попросту говоря, все стороны треугольника, к вершинам которого протянуты три красные нити, не могут быть синими. По крайней мере одна из сторон должна быть красной. Но тогда она замыкает треугольник, все стороны которого красные, а одна из вершин совпадает с исходным гвоздем.

6. Яхт-клуб

Под парусом в безветренную погоду

Однажды летом в жаркий безветренный полдень на веранде яхт- клуба собралось несколько яхтсменов. Они потягивали джин с тоником и лениво переговаривались между собой.

— Без ветра под парусом особенно не походишь, — философски заметил один из них.

— Не скажи! Иногда и в безветрие можно исхитриться, — возразил другой яхтсмен. — Как сейчас помню, однажды я прошел под парусом в полный штиль довольно приличную дистанцию.

— Штиль действительно был полным? Ни малейшего дуновения ветерка?

— Именно так!

— А как же ты управлялся с парусом?

— Как обычно.

— Может быть, ты дул себе в парус? Что ты делал?

— Ничего особенного. Я же говорю, что шел под парусом, как обычно. Чтобы было понятнее, я скажу несколько слов об обстановке. Я находился на небольшой яхте посредине реки, когда ветер внезапно упал. Ни весел, ни двигателя на яхте не было, и меня стало сносить по течению. Примерно в ста ярдах [10]прямо по курсу я увидел небольшую гребную лодку. Весла торчали по обе стороны ее корпуса, но сама лодка была пуста. Если бы мне удалось добраться до этой лодки, то я смог бы отбуксировать яхту в то место, куда направлялся. Но как преодолеть эти сто ярдов? Так как наступил полный штиль, лодку и яхту сносило вниз по течению реки с одинаковой скоростью, и расстояние между ними не сокращалось ни на дюйм [11].

— И что же ты сделал?

— Попробуй догадаться.

— Не знаю, что и думать. Вроде бы в полный штиль без весел нельзя плыть по течению быстрее, чем само течение.