Занимательная математика

— Речь идет не о применении математики в теннисе, хотя и такое в принципе возможно, — ответил Сэм-младший. — Но в данном случае речь идет о другом. Я провожу турнир юных теннисистов и никак не могу сосчитать, сколько упаковок теннисных мячей мне понадобится для того, чтобы полностью обеспечить участников. При проведении турнира мы берем всех участников и разбиваем их на пары в играх первого тура. Затем мы берем победителей, разбиваем их на пары для второго тура и продолжаем в том же духе до тех пор, пока не останется один-единственный победитель.

Проблема состоит в том, что для каждой встречи между двумя игроками я должен приготовить упаковку новеньких теннисных мячей. Если в каком-нибудь туре соревнования выходит нечетное число игроков, то один из них при жеребьевке вытягивает билетик с надписью «Всего хорошего!» и не участвует в очередном туре, но если возможно, его допускают к участию в следующем туре.

Мои расчеты затрудняет возможность появления «нечетных» игроков в конце то одного, то другого тура — тех, кто вытягивает билетик с надписью «Всего хорошего!» Я никак не могу сосчитать полное количество встреч, которые будут сыграны, если число участников турнира считать известным и принять во внимание тех, кто, вытащив билетик с надписью «Всего хорошего!», может пропустить один тур и оказаться в следующем.

Сэм-старший рассмеялся;

— На этот раз я могу помочь твоей беде. Позабудь о том, что в конце любого тура число победителей может оказаться нечетным. Вместо того чтобы подсчитывать число встреч, которые могут состояться тур за туром с учетом того, что отдельные игроки могут, минуя очередной тур, переходить в следующий, гораздо проще посмотреть на весь турнир в целом. Если отвлечься от деталей, то можно с уверенностью сказать, что при каждой встрече один участник вылетает. Следовательно, если исходное число участников турнира равно п, а после финальной встречи должен остаться один-единственный победитель турнира, то п — 1 участников должны выбыть. Для этого необходимо провести п — 1 встреч. Следовательно, тебе необходимо позаботиться o n — 1 упаковках теннисных мячей.

Односторонняя игра

Как-то раз Сэм-старший и его сын, начинающий вкушать плоды математического просвещения, поспорив по какому-то малозначительному поводу, заключили пари, и Сэм-младший предложил отцу, чтобы проигравший не платил выигравшему обычную ставку в несколько долларов, а сыграл с ним в игру, которая бы и определила, сколько нужно уплатить.

— Игра очень простая, — убеждал отца Сэм-младший, — мы просто бросим монету. Предположим, что ты проиграл пари. Мы бросаем монету, и если ты угадываешь исход бросания, то на этом все и кончается, и ты мне ничего не должен. С другой стороны, если исход бросания предсказан тобой неверно, то ты платишь мне 2 доллара, и мы бросаем монету второй раз. Если ты правильно угадываешь исход второго бросания, то игра на этом заканчивается и ты мне ничего больше не платишь. Таким образом, в этом случае я получаю от тебя всего 2 доллара. Если же исход второго бросания угадан тобой неверно, то ты платишь мне еще 4 доллара и т. д. Каждый раз, когда ты не угадываешь исход бросания, тебе придется уплатить мне вдвое больше, чем в предыдущий раз.

Игра продолжается лишь до тех пор, пока ты неверно предсказываешь исход бросания монеты. Как только ты угадываешь исход бросания, игра прекращается, и ты больше мне ничего не платишь. Идет?

— Идет! — согласился Сэм-старший, в котором проснулся азарт игрока. — Даже если я проиграю пари, то у меня останется шанс пятьдесят на пятьдесят остаться при своих, а если я не угадаю исход первого бросания, то затем мне вскоре все равно удастся правильно предсказать исход другого бросания, и я все же выиграю.

На следующий день выяснилось, что Сэм-старший проиграл пари. Пришлось бросать монету, чтобы выяснить, сколько он должен уплатить Сэму-младшему.

— А почему бы нам не оценить математически, сколько ты мне должен, вместо того чтобы по-настоящему бросать монету? Если ты против, я охотно все подсчитаю. Ведь ты же сам хотел, чтобы я изучал математику, так почему бы мне не воспользоваться тем, чему меня научили?