Занимательная микроэлектроника

Заметки на полях

Раз уж мы опять ударились в философию, то не могу удержаться, чтобы не продолжить в том же духе: раз числа существуют объективно, то где они существуют? Этот вопрос совсем не так прост, потому что число есть лишь один из подобных объектов, несомненно присутствующих в природе, и тем не менее не имеющих материального воплощения — это и геометрические фигуры, и другие математические объекты, в том числе и булева алгебра вместе с ее операндами. Причем, если физические идеализации («абсолютно твердое» или «абсолютно упругое» тело) есть сущности, действительно выдуманные человеком с целью упрощения изучения свойств реальных тел, и вне человеческого знания не существуют, то с математическими абстракциями вовсе не так: естественный спутник Земли всегда был один, даже когда самого человечества еще не существовало. Это послужило основанием для того, чтобы великий греческий философ Платон, из учений которого в той или иной степени проистекает вся современная западная философия, предположил существование некоего идеального мира («платоновского мира идей»), где все эти абстракции и «живут». Любопытно, что на этом основании Платона справедливо зачисляют в идеалисты, однако вышесказанное — хороший пример тому, что часто отождествляемые понятия «идеалистического» и «божественного» вовсе не одно и то же.

Позиционные и непозиционные системы счисления

Из понятия числа, как объективно существующей абстракции, вытекает, что его материальное представление может быть произвольным, лишь бы оно подчинялось тем же правилам, что и сами числа. Проще всего считать палочками (и в детском саду нас учат именно такому счету), в качестве которых могут выступать и пластмассовые стерженьки, и пальцы, и черточки на бумаге. Один — одна палочка, два — две палочки, десять — десять палочек. А сто палочек? Уже посчитать затруднительно, поэтому придумали сокращение записи: доходим до пяти палочек, ставим галочку, доходим до десяти — ставим крестик:

1 2 5 7 10 11

I II V VII X XI

Узнаете? Конечно, это всем знакомая римская система, сохранившаяся до настоящих времен на циферблатах часов или в нумерации столетий. Она представляет собой пример непозиционной системы счисления, потому что значение определенного символа, обозначающего то или иное число, в ней не зависит от позиции относительно других символов — все значения в записи просто суммируются. Следовательно, записи «XVIII» и «IIIХV» в принципе Должны означать одно и то же. На самом деле это не совсем так: в современной традиции принято в целях сокращения записи учитывать и позицию символа: скажем, в записи «IV» факт, что палочка стоит перед галочкой, а не после нее, означает придание ей отрицательного значения, т. е. в данном случае единица не прибавляется, а вычитается из пяти (то же самое относится и к записи девятки «IX»). Если вы человек наблюдательный, то могли заметить, что на часах четверку пишут почти всегда, как «IIII, а не как «IV», что, несомненно, более отвечает духу непозиционной системы. Однако, при всех возможных отклонениях главным здесь остается факт, что в основе системы лежит операция суммирования.

Большие числа в римской системе записывать трудно. Поэтому были придуманы позиционные системы, к которым, в частности, принадлежала и упомянутая вавилонская шестидесятеричная (см. рис. 7.4).

Рис. 7.4.Вавилонские глиняные таблички с записью чисел. Вверху перевод некоторых из них в десятичную систему