Занимательная микроэлектроника

Итак, запись числа в двоичной системе требует всего две цифры, начертание которых заимствовано из десятичной системы, и выглядит, как 0 и 1. Число, например, 1101 тогда будет выглядеть так:

1∙2³ + 1∙2² + 0∙2¹ + 1∙2⁰ = 13.

Чтобы отличить запись числа в различных системах, часто внизу пишут основание системы:

1101₂= 1310.

Если система не указана, то имеется в виду обычно десятичная, но не всегда. Часто, когда из контекста понятно, что идет речь об электронных устройствах, не указывают не только основание «два», но и под словом «разрядность» имеют в виду количество именно двоичных, а не десятичных разрядов (таков, скажем, смысл термина «24-разрядный цвет»).

Шестнадцатеричная система

Шестнадцатеричная система имеет, как ясно из ее названия, основание шестнадцать. Для того чтобы получить шестнадцать различных значков, изобретать ничего нового не стали, а просто использовали те же цифры от 0 до 9 для первых десяти знаков, и заглавные латинские буквы от А до F — для знаков с одиннадцатого по шестнадцатый. Таким образом, известное нам число 13₁₀ выразится в шестнадцатеричной системе, как просто D₁₆. Соответствие шестнадцатеричных знаков десятичным числам следует выучить наизусть: А — 10, В — 11, С — 12, D — 13, Е — 14, F — 15. Значения больших чисел вычисляются по обычной формуле, например:

A2FC₁₆= 10∙16³ + 2∙16² + 15∙16¹ + 12∙16⁰ = 40960+ 512 + 240 + 12 = 41724₁₀.

Перевод из одной системы счисления в другую

Как следует из ранее изложенного, перевод в десятичную систему любых форматов не представляет сложности и при надлежащей тренировке может осуществляться даже в уме. Для того чтобы быстро переводить в десятичную систему двоичные числа (и, как мы увидим, и шестнадцатеричные тоже), рекомендую выучить наизусть таблицу степеней двойки до 16:

На первое время достаточно запомнить верхний ряд, остальное выучится позже само.

Сложнее переводить из десятичной системы в двоичную, в учебниках описывается устрашающая процедура, основанная на делении столбиком. Я сейчас попробую вам показать способ, который позволяет переводить числа в двоичную систему несколько более простым методом, причем небольшие числа можно преобразовать даже в уме. Это, в сущности, то же самое деление, но без излишних сложностей и формальностей. Запомните сначала следующее правило: число, равное какой-либо степени двойки, имеет 1 в разряде с номером, на единицу большим степени, остальные все нули:

2¹ = 2₁₀ =10₂;

2² = 4₁₀ = 100₂;

2³ = 8₁₀ = 1000₂ и т. д.

Способ состоит в следующем: пусть мы имеем, например, десятичное число 59. Подбираем наибольшую степень двойки из таблицы ранее, не превышающую этого числа: 32, что есть 5-я степень. Ставим 1 в шестом разряде: 100000. Вычитаем подобранную степень из исходного числа (59–32 = 27) и подбираем для остатка также степень, его не превышающую: 16 (2⁴). Ставим единицу в 5-м разряде: 110000. Повторяем процедуру вычитания-подбора: 27–16 = 11, степень равна 8 (2³), ставим единицу в 4-м разряде: 111000. Еще раз: 11 — 8 = 3, степень равна 2 (2¹), ставим единицу во 2-м разряде: 111010. Последнее вычитание дает 1, которую и ставим в младший разряд, окончательно получив 59₁₀ = 111011₂. Если бы исходное число было четным, к примеру 58, то в последнем вычитании мы бы получили 0, и число в двоичной системе также оканчивалось бы на ноль: 58₁₀ = 111010₂.

Кстати, полезно также обратить внимание, что числа, на единицу меньшие степени двойки, имеют количество разрядов, равное степени, и все эти разряды содержат единицы:

2¹ — 1 = 1₁₀ = 1₂;

2² — 1 = 3₁₀ = 11₂;

2³ — 1 = 7₁₀ = 111₂;

Подобно тому, как наибольшее трехразрядное число в десятичной системе равно 999, и чисел таких всего 10³ = 1000 (от 000 до 999), в двоичной системе тех же трехразрядных чисел будет 2³ = 8 штук, в диапазоне от 000 до 111, т. е. от 0 до 7. Таким образом, наибольшее двоичное число с данным количеством разрядов будет всегда содержать все единицы во всех разрядах.

А вот из двоичной системы в шестнадцатеричную и обратно перевод очень прост: 16 есть 2⁴ и без всяких вычислений можно утверждать, что одноразрядное шестнадцатеричное число будет иметь ровно 4 двоичных разряда. Поэтому перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную осуществляется так: двоичное число разбивается на т. н. тетрады, т. е. группы по четыре разряда, а затем каждая тетрада переводится отдельно и результаты выписываются в том же порядке. Так как в тетраде всего 16 вариантов, то их опять же легко выучить наизусть:

Например, число 59₁₀, т. е. 0011 1011₂, будет равно 3Bh.