Записки профессора

Часто приходится слышать, что основные научные достижения — это удел молодых. Факты показывают, что далеко не всегда это так. Судьба распорядилась, чтобы я дожил до весьма основательного возраста, но способности открывать в науке нечто новое пока не угасли.

В 2007 году мне захотелось исследовать новую проблему, лежащую в области, которой я ранее не занимался. Все предыдущие годы я занимался электроприводом, автоматикой, оптимальным управлением, использовал математический аппарат вариационного исчисления и дифференциальных уравнений, а алгебраическими уравнениями не занимался. Интерес к проблеме оценки погрешностей решений систем алгебраических уравнений возник много позже, когда я писал книгу «Расследование и предупреждение техногенных катастроф», издательство «БХВ-Петербург», 2007 год, и убедился, сколько аварий и катастроф происходило из-за неверной оценки погрешностей решений этих уравнений.

Было давно известно, что существуют так называемые «плохо обусловленные» технические объекты и описывающие их «плохо обусловленные» системы уравнений. Для этих систем даже малые — а тем самым неизбежные на практике — погрешности в исходных данных для расчёта приводили к большим погрешностям решений и — как следствие — к авариям и катастрофам. Поэтому многие десятки лет учёные работали над методами выделения «плохо обусловленных» систем. Наилучшим считался метод, основанный на вычислении так называемого «числа обусловленности» исследуемой системы. Это число трудно вычислялось, а главное — оно давало только общую, обобщённую характеристику всех составляющих решения. Получалось нечто вроде «средней температуры по больнице», хотя были известны примеры, когда большая погрешность всего одной-единственной компоненты решения (даже при малых погрешностях остальных компонент) приводила к тому, что всё построенное новое здание рушилось.

Понятно, что мне захотелось найти метод оценки погрешности каждой из составляющих решения. Но когда я рассказал о своих намерениях одному из больших специалистов в этой области, он ответил мне грустно: «Юрий Петрович, не беритесь за эту проблему. Она слишком сложна. Конечно, если Вы решите её, Вам дадут Нобелевскую премию, но решить её Вам не удастся. Вы истратите много времени и сил, но решение проблемы ускользнёт от Вас — так же, как оно ускользнуло от сотен исследователей, которые до Вас искали её решение».

Все же я решил взяться за эту проблему, но взялся совсем с «другого конца»: не через нормы матриц, как делали ранее, а через определители. Успех пришёл не сразу. Сначала в 2007 году удалось (используя метод «модульных определителей») получить первую оценку для погрешностей, но только «оценку сверху», что было, разумеется, недостаточно, и лишь в 2008 году новая методика «таблиц знаков» принесла окончательный успех: теперь стало возможным вычисление точной величины погрешности, каждой из составляющих решения любой системы алгебраических уравнений, а точнее — погрешности, зависящей от неточностей в коэффициентах системы. Весной 2009 года я закончил написание книги «Как получить надёжные решения систем уравнений», в которой всё было изложено. Таким образом, в 78 лет мне удалось получить новые (и надеюсь — значимые) научные результаты в новой для меня области.

Дополнительные трудности возникли из-за того, что последние десять лет я работал один, без помощников (о причинах рассказано в главе восьмой). Ранее все примеры, как и полагается, вычислялись мною «в две руки» — т. е. считал я и считал помощник. Только если результаты совпадали во всех знаках, они шли в печать. В последней книге пришлось вычислять «в одну руку», что создает возможность появления неточностей в примерах. Разумеется, это не очень хорошо. Но главное всё же сделано: алгоритм, позволяющий дать точную оценку погрешности каждой из составляющих вектора решений, разработан и опубликован.

Пусть этот конкретный факт будет сильным доводом для всех тех, кто не хочет раньше времени оставлять научную работу. Напомню, что до 1990 года научных работников и преподавателей вузов обычно обязывали уходить на пенсию в 60 лет (женщин — в 55), и хорошо, если всё же разрешали работать на половину ставки. Потом одним из первых решений учреждённого тогда Конституционного суда было разрешено работать и после 60 лет (точнее — было запрещено увольнение «по причине возраста»). Решение это было совершенно правильным.

Конечно — надо прямо признать — энергии и интенсивности труда, доступных в молодости, уже не вернёшь, работать приходится медленнее, но помогает опыт. Он позволяет, прежде всего, выбрать значимую, крупную тему, не размениваться на мелочи, которые так часто увлекали в молодости, и он же — приобретенный с годами опыт — позволяет эту крупную (а значит и трудную) тему всё же решить.