Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Связки определим так же, как и в первой интерпретации, только вместо 1 в таблицах будем вписывать букву «и» («истинно»), а вместо 0 — «л» («ложно»). Тогда операция ~ окажется операцией обычного отрицания высказываний, формула ~ походит в истинное высказывание, если а при данной подстановке истинностных значений вместо всех своих переменных переходит в ложное высказывание, и в ложное высказывание, если а переходит в истинное высказывание^[15]; операция & (конъюнкция) окажется соответствующей логическому союзу «и» и будет порождать истинное высказывание вида ( & ) тогда, и только тогда, когда а и истинны (то есть интерпретируются истинными высказываниями); операция V будет соответствовать слабой дизъюнкции, то есть соединительно-разделительному союзу «или» естественного языка: формула (а V ) принимает значение «истинно» тогда, когда хотя бы одна из двух формул, а, , переходит в истинное высказывание. Что касается введенных по определению знаков -> и , то первый из них соответствует логическому союзу «если..., то» (логическая операция импликация), а второй — союзу «если, и только если,..., то» (или «тогда, и только тогда, когда») (логическая операция эквиваленция).

Нетрудно убедиться, что ( -> ) переходит в ложное высказывание, когда а (посылка, или антецедент, импликативного выражения) принимает значение «истинно», а (заключение, или консеквент) — значение «ложно», в остальных же случаях импликативное выражение истинно; эквивалентность (а ) переходит в истинное высказывание в том, и только том, случае, когда а и принимают одно и то же истинностное значение^[16].

При данной интерпретации каждая формула оказывается формой высказывания, или пропозициональной формой, то есть выражением, переходящим в высказывание (истинностное значение) при подстановке каких-то высказываний (истинностных значений) вместо всех ее пропозициональных переменных. Значение такой формы для всех возможных подстановок такого рода задается таблицей истинности, которая строится по данной формуле. Так, форме (~A1 & (A2 V ~A1)) соответствует следующая таблица (табл. 9; ср. табл. 6). В табл. 9 мы опустили промежуточные колонки, которые необходимы для того, чтобы получить ее правую колонку (они получаются из табл. 6 заменой «1» на «и», а «0» на «л» в колонках для формул ~А1 и (A2 V ~A1)).

Формулам, тождественно-равным единице (в предшествующей интерпретации), здесь соответствуют формы высказываний, принимающие значение «истинно» при любых значениях своих пропозициональных переменных (их называют тождественно-истинными формами высказываний или просто тождественно-истинными высказываниями); любая из таких форм может считаться интерпретацией константы 1. Формулам же, которые в предшествующей интерпретации были тождественно-равными нулю, теперь соответствуют тождественно-ложные высказывания (тождественно-ложные формы высказываний), и любое из таких высказываний есть интерпретация константы 0.

Равенство двух формул означает утверждение, что справа и слева от знака равенства стоят формы высказываний, принимающие одно и то же истинностное значение при любых значениях входящих в них пропозициональных переменных (равносильные формы высказываний); если это утверждение справедливо, то данное равенство 5 следует признать верным, в противном случае оно неверно.

В данной интерпретации особую роль играют тождественно-истинные высказывания. Некоторые из них выражают фундаментальные закономерности мышления. Таковы, в частности, формы высказываний ~(а & ~а) и (а V ~а) которые выражают логические законы, называемые соответственно законом противоречия и законом исключенного третьего (импликативное выражение (а -> а) соответствует закону тождества)^[17]. Тождественно-истинные высказывания используются для определения важного понятия логического следования. Поясним это понятие.