Жемчужина Эйлера

Мало что можно уверенно сказать о Пифагоре (ок. 560–480 до н. э.) и группе его последователей, пифагорейцев. Как писал философ У. Бэркерт, «так и хочется сказать, что нет ни одной непротиворечивой детали, касающейся жизни Пифагора»³⁰. Мы полагаем, что пифагорейцы первыми стали изучать правильные тела. Считается, что Пифагор знал о кубе и тетраэдре, но ученые уже давно спорят о том, были ли ему также известны икосаэдр и октаэдр. Одному из его последователей приписывают честь открытия додекаэдра, и, как мы увидим, это открытие, возможно, стало причиной его смерти.

Пифагор родился на греческом острове Самос, расположенном в Эгейском море. Согласно некоторым сведениям, в молодости он совершил путешествие в Египет и Вавилон, где изучал математику и религию. Впоследствии он поселился в греческом городе Кротон, ныне это юг Италии.

Рис. 4.1. Пифагор глазами художника

Сейчас Пифагор ассоциируется со знаменитой геометрической теоремой, носящей его имя[3], но в свое время он был известен как мистик и пророк. В Кротоне он стал духовным лидером тайного общества, основанного на философской религии. То было время, когда религия играла важную роль во многих культурах (Пифагор был современником Конфуция, Будды и Лао-цзы). Пифагорейское братство успешно просуществовало в Италии почти двести лет после смерти основателя, а его доктрины продолжали изучать вплоть до VI века н. э. Со временем легенда о божественной сущности Пифагора была подкреплена рассказами о совершенных им чудесах.

Пифагорейское братство во многих отношениях отличалось от других культов того времени. Членов отбирали очень тщательно — они проходили обряды инициации и ритуального очищения и давали клятву хранить тайну. Их жизнь подчинялась строгим, иногда странным правилам. По преданию, они были вегетарианцами, но не могли есть бобы, запрещено было помешивать огонь ножом, нельзя было носить кольца, требовалось касаться земли во время грозы.

Пифагорейцы верили в переселение душ — что души умерших вселяются в животных и проходят бесконечный цикл реинкарнации, то повышаясь в ранге до человека, то опускаясь до животного. единственный способ вырваться из этого цикла — очищение тела и разума. Как и во многих культах, очищение тела достигалось скромной жизнью, трезвостью и самоограничением.

Отличительной особенностью пифагорейцев были средства очищения разума. Чистота достигалась не медитацией, а изучением математики и наук. Провозглашалось, что окончательное воссоединение с божеством воспоследует из постижения порядка Вселенной, а ключом к постижению Вселенной является постижение математики. Пифагор говорил: «Красота — в познании совершенства чисел души»³¹. Эта вера очень лаконично выражена в девизе Пифагора «всё есть число».

Пифагорейцы верили, что Бог упорядочил Вселенную с помощью чисел и что любое число можно выразить в виде отношения двух целых чисел (любое число можно записать в виде дроби). Если использовать современную терминологию, то пифагорейцы верили, что все числа рациональные.

Музыка и астрономия тоже играли важную роль у пифагорейцев. Они открыли, что музыкальные интервалы можно выразить в виде отношений, и сделали вывод, что самые гармоничные звуки получаются из самых красивых комбинаций чисел. Они полагали, что музыкальными отношениями можно объяснить астрономические явления, например расстояния между планетами, порядок планет и периоды их обращения. А также что движение семи известных планет (в число которых включали Землю, Луну и Солнце), подобно колебаниям семи струн, создает гармонию. Некоторые говорили, что Пифагор слышал эту «музыку сфер».

Пифагорейцы вели общинный образ жизни: они вместе ели, выполняли физические упражнения и занимались науками. Такой образ жизни в сочетании с традицией устной передачи знаний, окружавшей их тайной и обожанием Пифагора не позволяет сказать, какой вклад в математику внесли конкретные пифагорейцы. Поскольку математика считалась частью их религии, а Пифагор был духовным лидером, все математические результаты, полученные его последователями, были «словом мастера» и приписывались ему.

По преданию, один из пифагорейцев, Гиппас из Метапонта (ок. 500 до н. э.), нарушил традицию анонимности, за что был сурово наказан. По одной легенде, его утопили в море, а по другой он был изгнан из братства пифагорейцев и ему был воздвигнут надгробный камень как символ отвержения. По поводу того, чем именно Гиппас заслужил столь суровую кару, тоже есть две легенды (возможно, обе истинны).

По одной легенде, Гиппас открыл додекаэдр и показал, как вписать его в сферу, но не упомянул при этом Пифагора. Это открытие, вероятно, имело особое значение для пифагорейцев, потому что гранями додекаэдра являются пятиугольники. Они выбрали пентаграмму, или пятиугольную звезду (рис. 4.2), которая у греков символизировала здоровье, в качестве особого символа, отличавшего членов братства. Пентаграмма строится путем соединения вершин правильного пятиугольника, при этом внутри него образуется меньший правильный пятиугольник.