Жемчужина Эйлера

35. Boyer and Merzbach (1991), 84.

36. Allan (1975).

37. Plato (2000), 46.

Глава 5 Евклид и его «Начала»

В одиннадцать лет я начал изучать Евклида под руководством брата. Это было одно из величайших событий моей жизни, столь же ослепительное, как первая любовь. Я и представить себе не мог, что в мире существует нечто столь восхитительное.

— Бертран Рассел

³⁸

Когда мы думаем о греческой геометрии, на ум сразу приходит Евклид и его шедевр, «Начала». В древности Евклида часто называли просто «Геометр». Очень жаль, что нам так мало известно о его жизни. Мы не знаем, ни где он родился, ни даже более-менее точную дату рождения или смерти. Авторы большинства книг по истории математики не рискуют высказывать догадки о точных датах и пишут лишь, что он жил приблизительно в 300 году до н. э.

Рис. 5.1. Евклид глазами художника

Евклид изучал математику и познакомился с великими работами Теэтета и других платоников в Академии Платона в Афинах. Впоследствии он перебрался в Александрию. Это было то время, когда создавались величайшая библиотека и музей. Там Евклид основал поразительно успешную и авторитетную школу математики.

Евклид написал несколько книг, но нетленной славой обязан одной из них. Приблизительно в 300 году до н. э. из-под его пера вышел труд всей его жизни: «Начала». Эта книга была написана как учебник элементарной геометрии, теории чисел и геометрической алгебры. Неизвестно, внес ли Евклид свой вклад в математику; почти все результаты, излагаемые в «Началах», были ранее доказаны другими людьми. Прокл писал, что Евклид «собрал многое за Евдоксом, усовершенствовал многое за Теэтетом, а помимо этого привёл к неопровержимости те доказательства, которые раньше доказывались менее строго»³⁹.

«Началам» много не хватает с методической точки зрения: математика не помещена в исторический контекст, отсутствуют побудительные мотивы, не приведены приложения. Но способ изложения и логический подход к материалу неизмеримо превосходят все, что было сделано до того. Евклид начал с пяти «очевидных» допущений и на основе этих простых постулатов выстроил величественную теорию геометрию. Прокл превозносил «Начала» в таких словах:

Ведь он берет не всё, что можно сказать, а лишь самое элементарное; и он применяет разнообразные виды силлогизмов, одни из которых получают достоверность от причин, другие же исходят из достоверных положений, но все они — неопровержимые, точные и свойственные науке… Скажем также о связности отыскания, о расположении и порядке посылок и следствий, о силе, с какой он излагает каждый вопрос⁴⁰.

Такое логическое обращение с материалом стало воплощением мечты Пифагора, жившего несколькими столетиями раньше. Влияние «Начал» на последующих ученых было очень велико. Опираясь на очевидные фундаментальные истины, человек попытался вывести все законы науки. Этот идеалистический подход к науке оказался чрезмерно упрощенным; лишь немногие законы науки близки к пяти постулатам Евклида. Тем не менее дедуктивный подход Евклида к математике и науке важен и по сей день.

«Начала» — самая ранняя из созданных греками крупных математических работ, дошедшая до нас. Она многократно переписывалась вручную, пока в 1482 году в Венеции не вышла первая печатная версия. С тех пор она переиздавалась примерно тысячу раз.

Большая часть тринадцатой, последней, книги «Начал» посвящена платоновым телам. Некоторые историки считают, что остальные двенадцать книг были написаны только для приготовления читателя к последней книге. Как мы уже говорили, доказательства, приведенные в книге XIII, скорее всего, принадлежат не Евклиду, а Теэтету. Некоторые ученые полагают, что Евклид воспроизвел работу Теэтета вообще без правки⁴¹.

Самый важный вклад книги XIII — доказательство того, что существует пять и только пять платоновых тел. Сначала Евклид показывает, что имеется по крайней мере пять платоновых тел — тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр. Затем он доказывает, что их не может быть больше пяти. Для решения первой задачи Евклид описывает точный порядок построения каждого из пяти платоновых тел, т. е. строит их внутри сферы. Мы не будем здесь повторять построения Евклида, но представим его доказательство отсутствия других правильных тел. А впоследствии дадим другое доказательство этой теоремы, основанное на формуле Эйлера.