Жемчужина Эйлера

Важной особенностью искусства эпохи Возрождения была перспектива. Многогранники и их остовы стали отличными объектами для демонстрации мастерства владения перспективой. Такие художники, как Пьеро делла Франческа, Альбрехт Дюрер и Даниэле Барбаро, внесли вклад как в математику, так и в искусство своими сочинениями о перспективе на примере многогранников. Среди множества художников, запечатлевших многогранники на своих картинах (см. рис. 6.2 и 6.3), были Леонардо да Винчи, который иллюстрировал книгу Лука Пачоли «Божественная пропорция» (1509); Венцель Ямницер, создавший тонкие, изысканные гравюры реальных и воображаемых многогранников; Якопо де Барбари, написавший портрет Луки Пачоли с многогранником; Паоло Уччелло, который включал многогранники в свои картины и мозаики на полу собора Святого Марка в Венеции; Фра Джованни да Верона, создавший восхитительные интарсии (мозаики из дерева), и, как мы видим (рис. 6.5–6.8), Иоганн Кеплер, физик и математик.

Рис. 6.1. Рафаэль, «Афинская школа»

Подобно ученым и художникам Возрождения, жившим за двести лет до него, Кеплер был очарован многогранниками. В наши дни мы знаем Кеплера в основном как астронома, прославившегося законами движения планет (которые описывают эллиптическое движение планет вокруг Солнца), но это далеко не единственный его вклад в науку и математику. Его идеи бесконечного и бесконечно малого предвосхитили математический анализ. Он опубликовал работу по оптике. Он был одним из первых пользователей логарифмов. И Кеплер внес вклад, как реальный, так и причудливый, в теорию многогранников.

Кеплер родился 27 декабря 1571 г. в маленьком городке Вайль-дер-Штадт, земля Вюртемберг, Священная Римская империя; ныне он находится в Германии. Жизнь его складывалась очень трудно: болезненный ребенок, выросший в неблагополучной семье, подвергался преследованиям на религиозной почве; его первая жена и любимый сын умерли от оспы, мать обвинили в колдовстве, а скончался он в возрасте 58 лет на пути к императору в надежде получить хотя бы часть жалованья. Несмотря на эти трудности, Кеплер был глубоко религиозным человеком. Он собирался стать лютеранским пастором, но в двадцать три года ушел из семинарии ради должности преподавателя математики и астрономии. Религиозные верования были очень важны для него, и, как видно из его сочинений, он часто черпал в них вдохновение для научной работы. Один из биографов Кеплера, Артур Кёстлер, писал: «Это сосуществование мистического и эмпирического, необузданного полета мысли и упорных, терпеливых исследований оставалось… главной особенностью Кеплера с юных лет до старости»⁴⁷.

Рис. 6.2. Усеченный икосаэдр и пентакисдодекаэдр Леонардо да Винчи из иллюстраций к «Божественной пропорции»

Кеплер верил, что Бог создал мир, исполненный математической красоты. Конечно, Кеплер был уверен, что существование всего пяти правильных многогранников должно иметь какой-то важный смысл; очевидно, они должны быть отражены в устройстве Вселенной. Кёстлер писал: «Для Кеплера ложная вера в пять идеальных тел была не мимолетной причудой, а оставалась с ним, в измененном виде, до конца жизни, со всеми признаками параноидного бреда; и тем не менее она играла роль vigor motrix, питая его бессмертные достижения»⁴⁸.

Идея первой модели Солнечной системы пришла Кеплеру 9 июля 1595 года, когда он читал лекцию в заполненном студентами зале. В то время все считали правильной геоцентрическую (с Землей в качестве центра) модель Птолемея. За полвека до этого Николай Коперник (1473–1543) приводил аргументы в пользу гелиоцентрической (с Солнцем в центре) модели, но, по различным причинам, большинство интеллектуалов ее отвергло.

Рис. 6.3. Мраморная инкрустация Уччелло (слева вверху), одна из интарсий Фра Джованни (справа вверху) и работы Венцеля Ямницера

Рис. 6.4. Иоганн Кеплер

В один прекрасный день, когда Кеплер чертил многоугольники, вписанные в окружности, его посетила мысль, что в этом, возможно, и состоит секрет орбит планет: что, если орбиты — это вложенные друг в друга окружности, вписанные в различные многоугольники, с Солнцем в центре? Проведя лето за скрупулезной проработкой деталей, он пришел к выводу, что эта модель Солнечной системы неправильна. Но он не отбросил ее целиком, а переработал и создал другую модель, которая нравилась ему больше. Новая модель была описана в его первой книге «Mysterium Cosmographicum» (Тайна мироздания), вышедшей в 1596 году⁴⁹.