Жемчужина Эйлера

Даже на этом, позднем этапе своей карьеры Кеплера очаровывали платоновы тела. Он был приверженцем греческой теории четырех элементов и платоновой теории, утверждавшей, что элементы состоят из платоновых тел. Следует иметь в виду, что «Гармония мира» была опубликована за 42 года до революционного текста Бойля «Скептический химик». В «Гармонии мира» Кеплер использовал идеи Платона и Аристотеля наряду с собственными ненаучными аргументами, чтобы обосновать связь четырех элементов с платоновыми телами.

Рис. 6.6. Рисунки звездных многогранников, выполненные Кеплером (из книги «Гармония мира»)

Он утверждал, что поскольку куб можно положить на стол, так что его нелегко вывести из равновесия, он представляет собой наиболее устойчивое из платоновых тел; стало быть, это должна быть земля. Октаэдр, удерживаемый двумя пальцами, легко вращается; следовательно, он самый неустойчивый и должен соответствовать воздуху. Тетраэдр занимает наименьший объем при заданной площади поверхности, поэтому он самый сухой из пяти, т. е. соответствует огню. А икосаэдр занимает наибольший объем при заданной площади поверхности, стало быть, он самый мокрый и должен быть водой. Кеплер видел связь между двенадцатью гранями додекаэдра и двенадцатью знаками Зодиака, поэтому он утверждал, что додекаэдр является образом Вселенной. Соответствие между элементами и платоновыми телами можно наблюдать на знаменитой иллюстрации Кеплера, воспроизведенной на рис. 6.7.

Рис. 6.7. Рисунки платоновых тел, выполненные Кеплером (из «Гармонии мира»)

В «Гармонии мира» мы снова видим раздвоение между склонностью Кеплера к мистике и его блестящим научным мышлением. В этой работе он высказывает ошибочные утверждения относительно атомистической теории, но также делает важное наблюдение о платоновых телах. Он обратил внимание на антисимметричную связь между октаэдром и кубом и между додекаэдром и икосаэдром, а также на автосимметрию тетраэдра. Из табл. 6.1 мы видим, что у куба и октаэдра по 12 ребер. Количество граней куба (6) равно количеству вершин октаэдра, а количество вершин куба (8) равно количеству граней октаэдра. Такое же зеркальное соотношение существует между додекаэдром и икосаэдром: у обоих по 30 ребер, у икосаэдра 20 граней, а у додекаэдра 20 вершин, у икосаэдра 12 вершин, а у додекаэдра 12 граней. Для тетраэдра нет парного правильного многогранника, но зато у него столько же граней, сколько вершин, поэтому он образует пару с самим собой.

Кеплер предложил физическую интерпретацию этой антисимметрии. Возьмем какой-нибудь правильный многогранник, например куб. Поместим новую вершину в центр каждой грани. Эти восемь точек образуют вершины октаэдра. Полученный многогранник называется двойственным исходному. На рис. 6.8 мы видим иллюстрацию Кеплера, показывающую, что октаэдр двойствен кубу. Заметим, что каждая грань куба соответствует вершине октаэдра, поэтому число граней куба равно числу вершин октаэдра. Присмотревшись более внимательно, мы увидим, что каждому ребру октаэдра можно сопоставить перпендикулярное ему ребро куба, поэтому оба многогранника имеют одинаковое число ребер. Кроме того, каждой вершине куба соответствует грань октаэдра, поэтому число тех и других одинаково. Таким способом мы устанавливаем зеркальную связь, показанную в табл. 6.1.

Таблица 6.1. Количество вершин, ребер и граней платоновых тел

Кеплер также показал, что икосаэдр двойствен додекаэдру, а тетраэдр — самому себе (см. рис. 6.8). Хотя Кеплер знал, что двойственность — взаимное отношение (куб можно вписать в октаэдр, а додекаэдр в икосаэдр), он не показал этого. Это не укладывалось в иерархию. Поскольку он верил, что отношение «включает» более совершенно, чем «быть включенным», то показал только, что первичные тела включают вторичные.

Рис. 6.8. Изображение двойственного многогранника, выполненное Кеплером (из «Гармонии мира»)

Верный своей манере, Кеплер не мог не поделиться собственной оригинальной интерпретацией этого математического наблюдения. Он приписал телам пол и воспользовался двойственностью для указания на половую совместимость. Куб и додекаэдр (оба доминирующие первичные тела) были мужского пола и включали женские октаэдр и икосаэдр (вторичные тела). Тетраэдр был гермафродитом, поскольку включал сам себя. Грани и вершины были половыми характеристиками, потому что именно в этих местах тела соприкасались. Кеплер писал: