Жемчужина Эйлера

Простой ответ — легкомысленное замечание, что история математики изобилует очевидными теоремами, которые годами оставались незамеченными. Однако есть и более проницательное соображение — математики прошлого не рассматривали многогранник с этой точки зрения. Предшественников Эйлера интересовали в первую очередь метрические свойства, поэтому они и просмотрели эту фундаментальную взаимозависимость. Им не только не приходило в голову подсчитывать признаки многогранника, они даже не знали, что считать.

Воистину Эйлер — наш общий учитель.

Работа Эйлера по формуле для многогранников отмечена тремя важными документами. Первым было уведомление Гольдбаха о ее открытии в 1750 году. Он писал:

В каждом теле, ограниченном плоскими гранями, сумма числа граней и числа телесных углов на два больше числа ребер, т. е. H + S = A + 2⁵⁹.

Эйлер использовал буквы H, A и S для обозначения числа граней (hedra), ребер (acies) и вершин (angulus solidus). После переименования и переупорядочения членов получаем знакомую формулу:

Формула Эйлера для многогранников

Для многогранника с V вершинами, E ребрами и F гранями имеет место соотношение V — E + F = 2.

В это письмо Эйлер включил, без доказательства, еще десять наблюдений, касающихся многогранников. В конце письма он выделил в качестве самых важных приведенную выше формулу для многогранников и еще одну, которую мы обсудим в главе 20. И разочарованно признался, что обе формулы «настолько трудны, что я еще не смог найти им удовлетворительное доказательство»⁶⁰.

В 1750 и 1751 годах Эйлер написал две статьи о своей формуле для многогранников. Из-за задержек в журнальных публикациях они появились в печатном виде только в 1758 году. В первой статье, «Elementa doctrinae solidorum»⁶¹ (Элементы доктрины сплошных тел), он начал изучение стереометрии. На первых тридцати страницах Эйлер делает общие замечания о многогранниках. Затем он приступает к обсуждению связи между числом вершин, ребер и граней. Он доказывает несколько теорем о связи между V, E и F и устанавливает справедливость формулы V — E + F = 2 в нескольких частных случаях. Но доказательства того, что она верна для всех многогранников, он еще не дал. Не видя пока выхода из тупика, он пишет: «Я не смог найти твердого доказательства этой теоремы»⁶².

В следующем году он опубликовал вторую статью «Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita»⁶³(Доказательство некоторых важных свойств тел, ограниченных плоскими гранями). В ней он наконец дал доказательство своей формулы для многогранников. Несмотря на то что формула Эйлера — одна из самых известных в математике, его доказательство практически неизвестно нынешним математикам. Тому есть несколько причин. Как мы увидим, доказательство Эйлера не удовлетворяет современным стандартам строгости. Кроме того, после 1751 года было дано много доказательств формулы Эйлера, более простых и прозрачных, чем найденное самим Эйлером. И тем не менее доказательство Эйлера весьма изобретательно, и в нем не используются метрические свойства многогранников. Первое по-настоящему строгое доказательство дал Лежандр в 1794 году, через сорок лет после Эйлера⁶⁴. В этом удивительном доказательстве, которое мы приведем в главе 10, Лежандр воспользовался геометрическими свойствами сферы.

Доказательство Эйлера стало предтечей современных комбинаторных доказательств. Он воспользовался методом рассечения, чтобы, взяв сложный многогранник, быть может, с большим числом вершин, свести его к более простому путем применения систематической процедуры. Эйлер предлагает удалять вершины многогранника по одной, пока не останется всего четыре, образующие треугольную пирамиду. Следя за числом вершин, ребер и граней на каждом этапе и используя известные свойства треугольной пирамиды, он смог прийти к выводу, что V — E + F = 2 для исходного многогранника.

Прежде чем переходить непосредственно к доказательству Эйлера, рассмотрим пример. Взгляните на декомпозицию куба на рис. 7.3. На каждом этапе мы удаляем одну вершину куба, отрезая от него треугольные пирамиды, и продолжаем это делать, пока не останется одна треугольная пирамида. Поскольку куб — сравнительно простой многогранник, для удаления вершины достаточно отрезать одну пирамиду. Но в общем случае для этого, возможно, придется отрезать несколько пирамид. В табл. 7.1 показано количество вершин, ребер и граней на каждом этапе декомпозиции.

Рис. 7.3. Удаление вершин куба с целью получения тетраэдра

Таблица 7.1. Преобразование куба в тетраэдр путем удаления вершин по одной