Жемчужина Эйлера

Тонкая проблема выпуклости стала настоящим вызовом для математиков. Последовало несколько десятилетий интересных исследований, поскольку математики хотели точно выяснить, какими свойствами должен обладать многогранник, чтобы для него удовлетворялась формула Эйлера. Мы увидим, что они рассматривали невыпуклые многогранники, многогранники с дырками и другие, еще более патологические примеры. Это направление исследований оказалось чрезвычайно плодотворным.

Много лет потребовалось математикам, чтобы понять важность того, что Эйлеру было очевидно, — что это теорема о размерности и правилах построения математических объектов. Формула Эйлера и ее обобщения стали краеугольным камнем топологии.

Вероятно, Эйлер в полной мере не осознавал важность своей теоремы. Он никогда не возвращался к проблеме классификации многогранников и ничего больше не писал о формуле для многогранников. Он так и не узнал, что это один из самых значительных его вкладов в математику.

Приложения к главе

55. Bell (1987), 16.

56. Juskevic and Winter (1965), 333.

57. Euler (1758b).

58. Legendre (1794).

59. Juskevic and Winter (1965), 333.

60. Там же, 334.

61. Euler (1758b).

62. Там же.

63. Euler (1758a), английский перевод Euler (1758c).

64. Legendre (1794).

65. Euler (1758a), английский перевод Euler (1758c).

66. Lebesgue (1924).

67. Francese and Richeson (2007); Samelson (1996).

Глава 8 Платоновы тела, мячи для гольфа, фуллерены и геодезические купола

Математику интересует только перечисление и сравнение отношений.

— Карл Фридрих Гаусс

⁶⁸

Математика изучает не предметы, а лишь отношения между ними.

— Анри Пуанкаре

⁶⁹

Все это замечательно, только кому это нужно?» — спросит скептически настроенный студент, источая сарказм. Красота — чудесная вещь, но некоторые считают, что важность теоремы следует измерять ее полезностью. Для чего может пригодиться формула Эйлера?

Этот вопрос можно задать применительно к любой математической теореме. Формула Эйлера — больше, чем просто элегантная теорема. В последующих главах мы представим многочисленные применения формулы Эйлера. Для большей их части придется провести кое-какую подготовку, чтобы понять, в чем состоит применение. Но чтобы разжечь у читателя аппетит, мы сделаем паузу и опишем два простых применения. Сначала мы с помощью формулы Эйлера докажем, что не существует правильных многогранников, кроме платоновых тел, а затем воспользуемся ей, чтобы вывести структурную теорему для мячей для гольфа, больших молекул и геодезических куполов.

В главе 5 мы показали, как Евклид доказывал, что существует ровно пять платоновых тел. Хотя доказательство кажется коротким, оно опирается на геометрические теоремы, доказанные в предыдущих двенадцати книгах «Начал». В этой главе мы приведем другое доказательство этого факта, основанное на формуле Эйлера и простых арифметических выкладках.

Пусть имеется правильное тело. Мы покажем, что это должно быть одно из пяти известных платоновых тел: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр или додекаэдр. Предположим, что многогранник имеет V вершин, E ребер и F граней. Из формулы Эйлера мы знаем, что

V — E + F = 2.

Поскольку многогранник правильный, каждая его грань является правильным многоугольником, и все они имеют одно и то же число ребер. Очевидно, что это число, которое мы обозначим n, должно быть не меньше трех. По определению, в каждой вершине сходится одно и то же число ребер. Это число m также должно быть не меньше трех (разумеется, m также равно числу граней, сходящихся в каждой вершине).

Каждая грань привносит n ребер, но поскольку каждое ребро является общим для двух граней, в величине Fn каждое ребро учтено дважды. Иначе говоря,

E = ½(Fn).

Аналогично каждая грань привносит n вершин, но в каждой вершине сходится m граней, поэтому в величине Fn каждая вершина учтена m раз. Таким образом,

V = Fn/m.

Теперь подставим эти величины в формулу Эйлера и решим уравнение относительно F.

Мы знаем, что 4m и F положительны. Поэтому чтобы последнее равенство могло иметь место, должно быть

2n — mn + 2m > 0.

Легко проверить, что этому неравенству удовлетворяет только пять пар целых чисел, при условии что n ≥ 3 и m ≥ 3. Вот они: (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (5, 3). Из формул для V, E и F выше находим, что эти пары соответствуют пяти платоновым телам (табл. 8.1).

Задумаемся об удивительности этого доказательства. Доказательство Евклида было локальным и геометрическим. Он пользовался величинами углов правильных многоугольников, чтобы определить возможные конфигурации в вершинах. И эту локальную информацию он использовал, чтобы сделать вывод о глобальной природе многогранника.

Таблица 8.1. Единственные пять пар целых чисел (n, m), удовлетворяющие требованиям для правильного многогранника