Жемчужина Эйлера

Новое же доказательство глобально и практически не прибегает к геометрии. Это теорема о правильных телах, но нигде в доказательстве не используется тот факт, что грани — правильные многоугольники! Мы даже не предполагали, что грани конгруэнтны. Формула Эйлера по природе своей комбинаторная — в ней подсчитываются вершины, ребра и грани. Нет никакой возможности включить в формулу Эйлера длины сторон и величины углов, и тем не менее мы сумели воспользоваться ей для нахождения всех платоновых тел.

Поскольку мы не использовали все условия теоремы, то, стало быть, доказали нечто совсем иное. Мы лишь предполагали, что все грани имеют одинаковое число сторон и что в каждой вершине сходится одинаковое число граней. С этой точки зрения, все фигуры на рис. 8.1 одинаковы — все они похожи на куб.

Рис. 8.1. Кубоподобные тела

По существу, мы доказали, что существует всего пять конфигураций многогранников, обладающих тем свойством, что все грани имеют одно и то же число сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Любой такой многогранник должен быть «похож» на тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб или додекаэдр — как многогранники на рис. 8.1 напоминают куб. В частности, число вершин, ребер и граней должно быть таким же, как у одного из платоновых тел.

Стремясь создать мяч для гольфа с улучшенными аэродинамическими свойствами, одна компания изобрела многогранные мячи. Поверхность мяча не покрыта сферическими лунками, а состоит из 232 вдавленных многоугольных граней (рис. 8.2). Поначалу поверхность кажется морем шестиугольных граней. Но будьте уверены, это не шестое платоново тело. При ближайшем рассмотрении мы обнаружим, что 12 граней — пятиугольники.

Рис. 8.2. Мяч для гольфа состоит из 220 шестиугольников и 12 пятиугольников

Во введении мы узнали о семействе шарообразных молекул углерода, называемых фуллеренами. На рис. 8.3 показан бакминстерфуллерен C₆₀, имеющий форму футбольного мяча. Атомы углерода образуют 12 пятиугольных и 20 шестиугольных колец. Ученые умеют создавать фуллерены с другим числом атомов углерода. Например, C₅₄₀ — массивный фуллерен с 540 атомами. Соответствующий этой молекуле многогранник состоит из 12 пятиугольников и 260 шестиугольников. Вообще, любой фуллерен включает пятиугольные и шестиугольные кольца, причем количество пятиугольников всегда равно 12.

Следующая теорема показывает, что это не случайное совпадение. Будем называть степенью вершины количество сходящихся в ней ребер.

Теорема о двенадцати пятиугольниках

Если любая грань многогранника является пятиугольником или шестиугольником и если степень любой вершины равна трем, то в многограннике имеется ровно двенадцать пятиугольных граней.

Рис. 8.3. Фуллерены и футбольные мячи включают ровно 12 пятиугольников

Эта теорема доказывается прямым применением формулы Эйлера. Предположим, что имеется такой многогранник с P пятиугольными и H шестиугольными гранями. Поскольку у пятиугольника пять сторон, а у шестиугольника — шесть и поскольку каждое ребро является общей границей двух граней, то число ребер равно E = (5P + 6H)/2. С другой стороны, поскольку степень каждой вершины равна 3, то число вершин равно V = (5P + 6H)/3. Подставляя обе величины в формулу Эйлера, получаем

2 = V — E + F = (5P + 6H)/3 — (5P + 6H)/2 + (P + H).

Умножая обе части на 6, приходим к нужному выводу:

12 = 10P + 12H — 15P — 18H + 6P + 6H = P.

У теоремы о двенадцати пятиугольниках есть двойственная формулировка, получаемая заменой граней на вершины и наоборот. Оставляем ее доказательство читателю.

Если любая грань многогранника является треугольником и степень каждой вершины равна пяти или шести, то в многограннике имеется ровно двенадцать вершин степени пять.

На рис. 8.4 показан пример такого многогранника, где выделено 7 из 12 вершин степени пять. Многие геодезические купола, например Биосфера в Монреале, сконструированы именно так. Разумеется, геодезические купола в архитектуре обычно не являются полными сферами. Тематический парк Эпкот во Всемирном центре отдыха Уолта Диснея имеет такую конструкцию, но каждая треугольная грань разбита еще на три треугольника.

Эти простые примеры позволяют составить первое впечатление о возможностях формулы Эйлера. В последующих главах мы увидим, какая мощь скрывается за элементарным, на первый взгляд, соотношением.

Рис. 8.4. Геодезический купол с двенадцатью вершинами степени пять

Приложения к главе

68. Bell (1945), 211.

69. Poincare (1913), 44.

Глава 9 Был ли Декарт первым?

И я надеюсь, что потомки будут благодарны мне не только за то, что я здесь разъяснил, но и за то, что мною было добровольно опущено, с целью предоставить им удовольствие самим найти это.

— Рене Декарт

⁷⁰