Живая математика

Посмотрим теперь, как велика ширина мишени для центра движущегося шара при крокировке. Очевидно, что, если центр крокирующего приблизится к центру крокируемого меньше чем на радиус шара, удар обеспечен. Значит, ширина мишени в этом случае, как видно из рис. 26, равна двум диаметрам шара.

Итак, вопреки мнению игроков, при данных условиях вдвое легче попасть в шар, нежели свободно пройти ворота с самой лучшей позиции.

26. После сейчас сказанного эта задача не требует долгих разъяснений. Легко видеть (рис. 27), что ширина цели при крокировке равна двум диаметрам шара, т. е. 20 см; ширина же мишени при нацеливании в столбик равна сумме диаметра шара и столбика, т. е. 16 см (рис. 28). Значит, крокировать легче, чем заколоться в

20: 16 = 1¹/₄ раза,

всего на 25 %.

Рис. 27

Рис. 28

Игроки же обычно сильно преувеличивают шансы крокировки по сравнению с попаданием в столбик.

27. Иной игрок рассудит так: раз ворота вдвое шире, чем шар, а столбик вдвое уже шара, то для свободного прохода ворот мишень вчетверо шире, чем для попадания в столбик.

Рис. 29

Рис. 30

Наученный предыдущими задачами, читатель наш подобной ошибки не сделает. Он сообразит, что для прицела в столбик мишень в 1¹/₂ раза шире, чем для прохода ворот с наилучшей позиции. Это ясно из рассмотрения рис. 29 и 30.

(Если бы ворота были не прямоугольные, а выгнутые дугой, проход для шара был бы еще уже - как легко сообразить из рассмотрения рис. 31.)

28. Из рис. 32 и 33 видно, что промежуток а, остающийся для прохода центра шара, довольно тесен при указанных в задаче условиях.

Рис. 31

Рис. 32

Знакомые с геометрией знают, что сторона (АВ) квадрата меньше его диагонали (АС) приблизительно в 1,4 раза. Если ширина ворот 3 d (где d - диаметр шара), то АВ равно:

3d: 1,4 = 2, Id

Рис. 33

Промежуток же а, который является мишенью для центра шара, проходящего мышеловку с наилучшей позиции, еще уже. Он на целый диаметр меньше и равен:

2,1d - d = 1,1d.

Между тем мишень для центра крокирующего шара равна, как мы знаем, 2d. Следовательно, крокировать почти вдвое легче при данных условиях, чем пройти мышеловку.

29. Мышеловка становится совершенно непроходимой в том случае, когда ширина ворот превышает диаметр шара менее чем в 1,4 раза. Это вытекает из объяснения, данного в предыдущей задаче. Если ворота дугообразные, условия прохождения еще сильнее ухудшаются.

Глава третья. ЕЩЕ ДЮЖИНА ГОЛОВОЛОМОК

30. Веревочка[3]

- Еще веревочку? - спросила мать, вытаскивая руки из лоханки с бельем. - Можно подумать, что я вся веревочная. Только и слышишь: веревочку да веревочку. Ведь я вчера дала тебе порядочный клубок. На что тебе такая уйма? Куда ты ее девал?

- Куда девал бечевочку? - отвечал мальчуган. - Во-первых, половину ты сама взяла обратно…

- А чем же прикажешь мне обвязывать пакеты с бельем?

- Половину того, что осталось, взял у меня Том, чтобы удить в канаве колюшек.

- Старшему брату ты всегда должен уступать.

- Я и уступил. Осталось совсем немного, да из того еще папа взял половину для починки подтяжек, которые лопнули у него от смеха, когда случилась беда с автомобилем. А после - понадобилось еще сестре взять три пятых оставшегося, чтобы завязать свои волосы узлом…

- Что же ты сделал с остальной бечевкой?

- С остальной? Остальной-то было всего-навсего 30 см! Вот и устраивай телефон из такого обрывка…

Какую же длину имела бечевка первоначально?

31. Число сапог[4]

Сколько штук сапог необходимо заготовить для городка, третья часть обитателей которого одноногие, а половина остальных предпочитает ходить босиком?

32. Долговечность волоса

Сколько в среднем волос на голове человека? Сосчитано[5]: около 150 ООО. Определено также, сколько их в среднем выпадает в месяц: около 3000.

Как по этим данным высчитать, сколько времени - в среднем, конечно, - держится на голове каждый волос?

33. Зарплата

Мой заработок за последний месяц вместе со сверхурочными составляет 250 руб. Основная плата на 200 руб. больше, чем сверхурочные. Как велика моя зарплата без сверхурочных?

34. Лыжный пробег

Лыжник рассчитал, что если он станет пробегать в час

10 км, то прибудет на место назначения часом позже полудня; при скорости же 15 км в час он прибыл бы часом раньше полудня.

С какой же скоростью должен он бежать, чтобы прибыть на место ровно в полдень?

35. Двое рабочих

Двое рабочих, старик и молодой, живут в одной квартире и работают на одном заводе. Молодой доходит от дома до завода за 20 мин, старый - за 30 мин. Через сколько минут молодой догонит старого, если последний выйдет из дому 5-ю минутами раньше его?

36. Переписка доклада

Переписка доклада поручена двум машинисткам. Более опытная из них могла бы выполнить всю работу за 2 часа, менее опытная - за 3 часа.

За сколько времени перепишут они этот доклад, если разделят между собой работу так, чтобы выполнить ее в кратчайший срок?

Задачи такого рода обычно решают по образцу знаменитой задачи о бассейнах. А именно, в нашей задаче находят, какую долю всей работы выполняет в час каждая переписчица; складывают обе дроби и делят единицу на эту сумму.