Живая математика

Рис. 34. С какой скоростью он должен бежать?

Рис. 35

Не можете ли вы придумать новый способ решения подобных задач, отличный от шаблонного?

37. Две зубчатки

Шестеренка о 8 зубцах сцеплена с колесом, имеющим 24 зубца (рис. 35) - При вращении большего колеса шестеренка обходит кругом него.

Спрашивается, сколько раз обернется шестеренка вокруг своей оси за то время, пока она успеет сделать один полный оборот вокруг большей зубчатки?

38. Сколько лет?

У любителя головоломок спросили, сколько ему лет. Ответ был замысловатый:

- Возьмите трижды мои годы через три года да отнимите трижды мои годы три года назад - у вас как раз и получатся мои годы.

Сколько же ему теперь лет?

39. Чета Ивановых

- Сколько лет Иванову?

- Давайте сообразим. Восемнадцать лет назад, в год своей женитьбы, он был, я помню, ровно втрое старше своей жены.

- Позвольте, насколько мне известно, он теперь как раз вдвое старше своей жены. Это другая жена?

- Та же. И потому нетрудно установить, сколько сейчас лет Иванову и его жене. Сколько, читатель?

40. Игра

Когда мы с товарищем начали игру, у нас было денег поровну. В первый кон я выиграл 20 коп. Во второй я проиграл две трети того, что имел на руках, и тогда у меня оказалось денег вчетверо меньше, чем у товарища.

С какими деньгами мы начали игру?

41. Покупки

Отправляясь за покупками, я имел в кошельке около 15 рублей отдельными рублями и двугривенными. Возвратившись, я принес столько отдельных рублей, сколько было у меня первоначально двадцатикопеечных монет, и столько двадцатикопеечных монет, сколько имел я раньше отдельных рублей. Всего же уцелела у меня в кошельке треть той суммы, с какой я отправился за покупками.

Сколько стоили покупки?

РЕШЕНИЯ ГОЛОВОЛОМОК 30-41

30. После того как мать взяла половину, осталась ¹/₂; после заимствования старшего брата осталась ¹/₄; после отца - ¹/₈; после сестры - ¹/₈ х ³/₅ = ³/₄₀. Если 30 см составляют ³/₄₀ первоначальной длины, то вся длина равна 30:³/₄₀ = 400 см, или 4 м.

31. Так как число жителей городка неизвестно, то ответ на вопрос этой полушуточной головоломки возможен лишь в такой форме, достаточно, впрочем, определенной: «Требуется столько штук сапог, сколько в городке жителей».

В самом деле. Пусть число жителей равно п. Тогда для снабжения одноногих требуется ⁿ/₃ штук сапог. Из прочих ²ⁿ/з жителей нуждается в обуви только половина - ¹/₃; а так как каждому из этой части населения нужно по два сапога, то им требуется ²/₃ штук. Всего же для городка следует заготовить

т. е. столько штук, сколько в городке жителей.

32. Позже всего выпадает, конечно, тот волос, который сегодня моложе всех, т. е. возраст которого 1 день. Посмотрим же, через сколько времени дойдет до него очередь выпасть. В первый месяц из тех 150 000 волос, которые сегодня имеются на голове, выпадет 3 тысячи, в первые два месяца - 6 тысяч, в течение первого года - 12 раз по 3 тысячи, т. е. 36 тысяч. Пройдет, следовательно, четыре года с небольшим, прежде чем наступит черед выпасть последнему волосу. Так определилась у нас средняя долговечность человеческого волоса: четыре с небольшим года.

33. Многие, не подумав, отвечают: 200 руб. Это неверно: ведь тогда основная зарплата будет больше сверхурочных только на 150 руб., а не на 200.

Задачу нужно решать так. Мы знаем, что если к сверхурочным прибавить 200 руб., то получим основную зарплату. Поэтому если к 250 руб. прибавим 200 руб., то у нас должны составиться две основные зарплаты. Но 250 + 200 = 450. Значит, двойная основная зарплата составляет 450. Отсюда одна зарплата без сверхурочных равна 225 руб., сверхурочные же составят остальное от 250 руб., т. е. 25 руб.

Проверим: зарплата, 225 руб., больше сверхурочных, т. е. 25 руб., на 200 руб., - как и требует условие задачи.

34. Эта задача любопытна в двух отношениях: во-первых, она легко может внушить мысль, что искомая скорость есть средняя между 10 км и 15 км в час, т. е. равна 12¹/₂ км в час. Нетрудно убедиться, что такая догадка неправильна. Действительно, если длина пробега а километров, то при 15-километровой скорости лыжник будет в пути ^а/ ₁₅ часов, при 10-километровой - ^a/₁₀, при 12¹/₂-километровой -, или^2a/ ₂₅. Но тогда должно существовать равенство

потому что каждая из этих разностей равна одному часу. Сократив на а, имеем

или, по свойству арифметической пропорции:

равенство неверное:

т. е. ⁴/₂₄, а не ⁴/₂₅.

Вторая особенность задачи та, что она может быть решена не только без помощи уравнений, но даже просто устным расчетом.

Рассуждаем так. Если бы при 15-километровой скорости лыжник находился в пути на два часа дольше (т. е. столько же, сколько при 10-километровой), то он прошел бы путь на 30 км больший, чем прошел в действительности. В один час, мы знаем, он проходит на 5 км больше; значит, он находился бы в пути 30: 5 = 6 ч. Отсюда определяется продолжительность пробега при 15-километровой скорости: 6-2 = 4 ч. Вместе с тем становится известным и проходимое расстояние:

15 х 4 = 60 км.