Живой учебник геометрии

Заметим еще, что когда перпендикуляры к магистралям коротки – как на черт. 118 – их проводят на глаз, без эккера, и измеряют не мерной веревкой, а шагами.

Остается объяснить, как по полученным нами данным чертится план участка, т. е. как превратить имеющийся у вас набросок в аккуратно исполненный чертеж.

Чтобы изобразить на плане участок, показанный на черт. 117, проводят по линейке магистральную линию 1–2 и откладывают на ней, в заранее выбранном масштабе, расстояние 1-10, 1-15, 1-11, 1-12 и 1-16 и т. д., т. е. отмечают точки 10, 15, 11, 12, 16 и т. д. Через эти точки проводят, помощью чертежного треугольника, перпендикуляры и откладывают на них, в том же масштабе, расстояния: 10-3, 15-9, 11-4 и т. д. Когда это сделано, соединяют точки 1, 3, 4, 5… прямыми линиями или изогнутыми, делая изгибы такими, какими они изображены на черновом наброске; ошибка здесь может получиться лишь небольшая, потому что основные, поворотные точки границы нанесены вполне точно.

Сходным образом приходится поступать в тех случаях, когда магистрали составляют треугольник (см. черт. 119). Треугольник, длина всех трех сторон которого известна, строят, как объяснено в § 17. В случае сети из нескольких треугольников их строят последовательно, примыкая один к другому. Когда треугольники начерчены, остается только провести перпендикуляры и докончить чертеж, как объяснено было для других случаев.

В случае участка, представленного на черт. 118, начинают с прямоугольника, размеры всех сторон которого известны и которые поэтому нетрудно начертить (в масштабе). А когда это сделано, намечают на сторонах точки, через которые проведены перпендикуляры, и чертят их в масштабе. Дальше поступают, как в предыдущих примерах.

В полученных нами планах изображены только границы участка. Часто бывает нужно изобразить и положение различных подробностей внутри этих границ – колодца, большого дерева на лугу, строения и т. п. Сделать это нетрудно, если выполняя измерения границ, провести от этих предметов перпендикуляры к магистрали и измерить их длину, а также расстояние от точки пересечения обеих линий.

§ 42. Измерение площади участка»

Задача съемки состоит не только в том, чтобы начертить план земельного участка, но и в том еще, чтобы определить его площадь. Нередко участок для того только и снимается на план, чтобы определить его площадь. Покажем, как определять площади участков, обмеренных указанными выше способами.

Рассмотрим сначала участок, изображенный на черт. 117. Он распадается на 9 частей, площади которых мы умеем вычислять, – если не строго точно, то приближенно. Фиг. 1-3-10 можно принять за треугольник; его основание и высота нам известны. Далее: соседняя часть (3-10-11-4) может быть рассматриваема как трапеция, у которой измерены параллельные стороны (3-10 и 4-11), а также и расстояние между их сторонами (10–11). Поэтому вычисление площади этой части фигуры тоже не составит труда.

Точно так же вычисляются площади прилегающих по порядку трапеций 4-11-12-5, 5-12-13-6, 6-13-14-7 и 15-9-8-16. Остальные части фигуры можно рассматривать как треугольники, для вычисления площади которых у нас тоже имеется достаточно данных.

Раз нам известна площадь каждой части фигуры, то сложив их вместе, определим площадь всего измеренного участка.

Переходя к черт. 118 видим, что здесь перед нами задача с такими же данными; только отдельных частей здесь больше. Все краевые участки надо отнять от площади наружного прямоугольника.

Площадь участка черт. 119 определяют подобным же образом. Затруднение представляет только вычисление площади треугольника АВС, так как высота его не была промерена, на местности. Но мы всегда можем измерить ее на чертеже, пользуясь масштабом плана. Так же поступают и в случае сети треугольников.

Наконец, в случае участка черт. 121 начинаем с вычисления площади охватывающего его многоугольника. Мы можем сделать, это, если разобьем его диагоналями на треугольники (§ 29), определив – пользуясь масштабом плана – длину их оснований и высот.

Другой способ состоит в том, что превращают многоугольник в равновеликий ему треугольник. Делается это следующим образом.

Пусть требуется превратить многоугольник АВСDE (черт. 122) в равновеликий треугольник. Проведя диагональ АС, проводят через вершину В прямую, параллельную АС, до пересечения в точке М с продолжением стороны АЕ: треугольник ABCравновелик треугольнику АМС, потому что у них общее основание АС и равные высоты (§ 26). Следовательно, четырехугольник СОЕ равновелик пятиугольнику ABCDE. Затем таким же приемом превращаем MCDEв равновеликий треугольник: проводим диагональ ЕС и через вершину Dпроводим DNпараллельно ЕС до пересечения с продолжением МС в точке N. Треугольник ECDравновелик треугольнику ECN(почему?); следовательно, треугольник MNEравновелик пятиугольнику ABCDE. Определив теперь площадь треугольника MNE, мы тем самым находим искомую площадь многоугольника ABCDE.

§ 43. Маршрутная съемка