Живой учебник геометрии

Или короче: д и а м е т р, п е р п е н д и к у л я р н ы й к х о р д е, д е л и т е е п о п о л а м.

Действительно: если бы он не проходил через ее середину, то вышло бы (черт. 171), что равные наклонные [ОA и ОВ] имеют не равные проекции [АС и ВС], – а этого, мы знаем, быть не может (§ 54).

Повторительные вопросы

Что называется хордой? – Как называется хорда, проходящая через центр круга? – Как разыскать центр данной дуги, пользуясь хордами? – На каком свойстве хорд основан этот способ? – На какие части делит хорду перпендикуляр к ней, проведенный через центр?

Применения

69. Как убедиться, что хорда не может быть больше диаметра того же круга?

Р е ш е н и е. Хорда CD (черт. 172) короче суммы радиусов СО + ОD (сторона треугольника всегда меньше суммы двух других); следовательно, она меньше и диаметра АOD так как OC= OD= AO = OB.

70. Чему равна хорда, составляющая с диаметром угол в 60°?

Р е ш е н и е. Соединив конец C хорды (черт. 173) с концом Aдиаметра, получим прямоугольный треугольник, так как угол C – прямой. Угол A = 30°, и, значит, BC = половине диаметра AB = радиусу (§ 52).

§ 62. Касательные ц их построение

Другой способ нахождения центра (напр., точеных изделий) – помощью особого инструмента, «центроиска-теля» – основан на свойствах так наз. касательных линий. К а с а т е л ь н о й к окружности называется всякая прямая линия, которая в точке встречи с окружностью перпендикулярна радиусу, проведенному к этой точке. Например, на черт. 174 прямые АВ, CD и EF– касательные к окружности АСЕ. Точки А, С, Е называются «точками касания». Особенность касательной, линии та, что она и м е е т с о к р у ж н о с т ь ю т о л ь к о о д н у о б щ у ю т о ч к у. Действительно, если бы у касательной AB(черт. 175) была с окружностью, кроме этой еще одна общая точка, напр., С, то, соединив ее с центром, мы получили бы равнобедренный треугольник СОА с двумя прямыми углами СА, а это, мы знаем, невозможно (почему?).

С линиями, касательными к окружности, мы встречаемся весьма часто в практической жизни. Веревка, перекинутая через блок, занимает в своих натянутых частях положение касательных прямых к окружности блока. Ремни талей (сочетания нескольких блоков, черт. 176) располагаются по линии общих касательных к окружности колес. Передаточные ремни шкивов тоже занимают положение общих касательных к окружностям шкивов «внешних» касательных в так наз. открытой передаче и «внутренних» – в закрытой.

Как через данную точку вне окружности провести к ней касательную? Другими словами: как через точку А (черт. 177) провести прямую АВ, чтобы угол АВО был прямой? Выполняется это следующим образом. Соединяют А с центром О (чертеж 178). Прямую делят пополам и вокруг середины ее В, как центра, описывают окружность радиусом ВО. Иначе говоря, на ОА строят круг, как на диаметре. Точки пересечения С и Dобеих окружностей соединяют с А прямыми линиями: это и будут касательные.

Чтобы в этом убедиться, проведем из центра к точкам С и Dвспомогательные прямые ОС и ОD. Углы ОСА и ODA– прямые, так как они вписаны в полуокружность. А это и значит, что ОС и OD– касательные к окружности.

Рассматривая наше построение, мы видим, между прочим, что из каждой точки вне окружности можно провести к ней д в е касательные. Нетрудно убедиться, что обе эти касательные о д и н а к о в о й д л и н ы, т. е., что AC= AD. Действительно, точка О одинаково удалена от сторон угла А; значит ОА – равноделящая, и следовательно, треугольники ОАС и OADравны (СУС).

Попутно мы установили, что прямая, которая делит пополам угол между обеими касательными, проходит через центр круга. На этом основано устройство прибора для разыскания центра точеных изделий – ц е н т р о и с к а т е л я (черт. 179). Он состоит из двух линеек АВ и АС, укрепленных под углом, и третьей линейки BD, край которой BDделит пополам угол между краями

первых двух линеек. Прибор прикладывают к круглому изделию так, чтобы прилегающие к нему края линеек АВ и ВС соприкасались с окружностью изделия. Края будут при этом иметь с окружностью только по одной общей точке, поэтому край линейки должен, согласно сейчас указанному свойству касательных, пройти через центр круга. Прочертив на изделии по линейке диаметр круга, прикладывают центроискатель к изделию в другом положении и прочерчивают другой диаметр. Искомый центр окажется на пересечении обоих диаметров.