Живой учебник геометрии

Р е ш е н и е. Очевидно, нужно тянуть с силою, не меньшею той, с какою тело увлекается своим весом. В механике установлено правило, что тело, лежащее на наклонной плоскости, увлекается вдоль нее с силою, составляющей такую долю веса тела, какую высота ВС наклонной плоскости составляет от ее длины AB. Это отношение зависит только от величины угла A, но не зависит от того, в какой точке наклонной плоскости (черт. 235) мы станем мерить ее высоту и длину: отношение ВС : AB= отношению DE: AD= отношению MN: AMи т. п. (почему?). Это отношение противолежащего катета к гипотенузе в треугольнике, отсекаемом от острого угла перпендикуляром к одной из его сторон, называется с и н у с о м этого угла и обозначается знаком sin:

SinA=BC/AB

Каждый угол имеет определенный синус, величина которого всегда может быть вычислена (по способу, излагаемому в подробных учебниках математики) или, менее точно, найдена из чертежа.

Если станем изменять величину угла от 0° до 90° и следить, как изменяется при этом величина синуса, то заметим следующее.

Когда угол близок к 0°, то и синус его близок к нулю: Sin 0° = 0. С увеличением угла sinего возрастает, но никогда не превышает 1-цы (почему?). При 90° величина его равна 1, потому что при этом катете сливается с гипотенузой; следовательно, sin 90° = 1.

Синус некоторых углов вычисляется очень просто. Например, синус 30° (черт. 230) равен

Вычисление sin 60° проделайте сами.

Отношение п р и л е ж а щ е г о к а т е т а к гипотенузе называется к о с и н у с о м угла А и обозначается cos. Напр. (черт. 229 и 230) cos 60° = BC: AC= 0,5; cos 45° = sin 45° = 0,71.

Между синусом и косинусом острого угла и его дополнительного существует та же зависимость, что и между tg и cot g: с и н у с о с т р о г о у г л а р а в е н к о с и н у с у д о п о л н и т е л ь н о г о у г л а (выведите это правило).

Поэтому таблицу синусов и косинусов можно свести в одну, как и сделано в таблице, напечатанной в конце книги.

§ 87. Таблица синусов и косинусов

Нахождение в таблице sin и cos данных углов, а также обратное нахождение углов, отвечающих данным синусу или косинусу, выполняется так же, как и в случае tg и cotg. Например, sin 12° = cos 78° = 0,21; sin 37°30 = 52°30 = = 0,61; cos 38°40 = sin 51°20 = 0,79; cos 14° = sin 76° = 0,24. Угол, sin которого 0,15, равен 8°30 , и т. п.

Возвращаясь к задаче о теле, скользящем по наклонной плоскости, находим sin 35° = 0,57; следовательно, для удержания груза необходима сила в 20 ? 0,57 = 11 кг.

Применения

109. Гипотенуза – 47 см, катет– 19 см. Найти величину противолежащего угла.

Р е ш е н и е. Синус искомого угла 19/47 = 0,42; отсюда угол = 25°.

110. Боковая сторона равнобедренного треугольника -

96 см; угол при вершине – 67°. Найти основание.

Р е ш е н и е. Синус половины угла при вершине, т. е. sin 33°30’ равен половине основания, деленной на длину боковой стороны; отсюда половина основания равна боковой стороне, умноженной на sin 33°30’ = 96 0,55 = 53.

111. Одна сторона треугольника 57 см, а другая – 81 см.

Угол между ними 47°. Найти длину перпендикуляра, проведенного к большей из данных сторон через противоположную вершину.

Р е ш е н и е. Пусть в треугольнике АВС (черт. 232) сторона АВ = 57, АС = 81, а угол А = 47°. Проведем ВD под прямым углом к АС, видим, что BD/AB= BD/57 = sin 47°

откуда BD = 57 ? 0,68 = 39 см.

Если бы данный угол был тупой, например в 125° (черт. 236), то длину ВD мы узнали бы из отношения

D/AB= BD/57 =Sin BAD = Sin [180° – 125°] = Sin 55° = 0,57, откуда BD= 32 см.

112. По данным предыдущей задачи вычислить длину третьей стороны (черт. 232).

Р е ш е н и е. Из треугольника АВD находим длину отрезка AD (как?); вычтя эту длину из АС, узнаем DС; вычислив кроме того, длину ВD, находим сторону ВС из треугольника ВDC по правилу Пифагора.

Произведите это вычисление. Рассмотрите случай, когда угол = 125°, как на черт. 236.

113. Одна сторона треугольника 95 см; два угла его 35° и 61°. Найти остальные стороны.

Р е ш е н и е. Пусть в треугольнике АВС (черт. 232) сторона ВС = 95 см, угол A= 61°, угол С = 35°. Проведя через В перпендикуляр BD, вычисляем его длину из треугольника BDC (как?), а зная BD находим из треугольника ABD длину АВ (как?). Для вычисления длины АС находим отрезки AD и ВС (как?) и складываем их.

Другой ответ получим, если примем, что сторона в 95 см лежит против угла в 35°.

114. Радиус круга 120 см. Найти длину хорды, «стягивающей» дугу в 48°. (О хорде говорят, что она «стягивает» ту дугу, которая расположена между ее концами).

Р е ш е н и е. Если (черт. 219) дуга АпВ = 48°, то центральный угол О = 48°. Нахождение длины АВ сводится к вычислению основания равнобедренного треугольника по боковой стороне [ОА] и углу при вершине; задача эта уже рассмотрена нами ранее (см. задачу 110).

115. Вычислить сторону правильного семиугольника, вписанного в круг радиуса 30 см.