Жизнь Георга Кантора

В начале 1885 г. психический кризис у Кантора по существу преодолевается, и вновь возрождается его вера в значение собственных достижений. Далее, к его идеям примыкают в возрастающем числе другие математики (прежде всего, в 1885 г. Гарнак, Лерх, Фрагмен). Теоретико-множественная точка зрения предлагается даже для целей школьного преподавания: старший учитель городской гимназии в Галле, Фр. Майер, состоявший в близких личных отношениях с Кантором, публикует в 1885 г. второе издание своих “Elemente der Arithmetik und algebra” («Элементов арифметики и алгебры»), на которые оказали решительное влияние идеи Кантора о трансфинитном; в частности, в этой книге понятие числа вводится теоретико-множественным путем. Правда можно усомниться, произвела ли эта высоко стоящая в научном отношении книга надлежащее воздействие на школьное преподавание, на которое была рассчитана. В последующие годы выходит и ряд дальнейших работ самого Кантора, в которых изложение и защита ранее достигнутого, особенно же дискуссии философского характера, превышают новое творчество. В математическом отношении интересы Кантора все больше смещаются, отдаляясь от точечных множеств в сторону расширения понятия числа. На то же время приходится обширная корреспонденция с математиками, философами, теологами и другими учеными, в которой он уточняет свои взгляды на актуальную бесконечность, защищая ее от недоразумений. Он находит досуг также для расширения своих и до того поразительных познаний в старой философской и теологической литературе о проблеме бесконечного. В этом духе написаны работы“"Uber die verschiedenen Standpunkte in Besug auf das aktuelle Unendliede” («О различных точках зрения на актуальную бесконечность») и “Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten” («К учению о трансфинитном»), в значительной мере направленные в сторону философии и полемически окрашенные. Кроме того, в конце последней из них содержится еще своеобразная теория кратных порядковых типов; в 1888 г. появилась диссертация на эту тему “Ein Beitrag zur Theorie der Ordnungstypen” («К теории порядковых типов») его ученика, впоследствии философа Германа Шварца, возникшая под влиянием прочитанных в 1887 г. лекций Кантора. К тому же времени относится высказывание Кантона (в письме Виванти), что многозначная аналитическая функция способна принимать в заданной точке не более чем счетное множество различных значений (и предложение доказать это).

Наряду с другими соображениями, прежде всего конфликт с Кронеккером привел его к убеждению, что для обеспечения свободы и научной независимости отдельного, в особенности начинающего исследователя в математическом сообществе и для защиты от чрезмерного влияния отдельных ученых целесообразно объединить немецких математиков в одну организацию. По его инициативе было основано Немецкое математическое объединение, которому с самого начала он был предан всей душой, никогда не уставая подчеркивать значение его для свободы научного творчества. Мы находим имя Кантора среди подписавших «гейдельбергское воззвание» 1889 года, первое публичное обращение к коллегам по случаю 62-го Съезда немецких естествоиспытателей и врачей, а также принятые в следующем году «бременские постановления» Математико-аcтрономического отдела Съезда естествоиспытателей, которыми и было учреждено Объединение. Начиная с основания Объединения (18 сентября 1890 г. Кантор был его председателем, а также соиздателем двух первых томов “Jahresbericht”, и когда осень 1893 г. он вынужден был по состоянию здоровья отказаться от председательства, в выраженной ему благодарности подчеркивалось, что именно ему принадлежит «первый почин основания Объединения, а его живое и энергичное участие привело к осуществлению этого плана»[21].

Отложив личную неприязнь, он пригласил Кронеккера сделать вступительный доклад на первом собрании Объединения в Галле (осенью 1891 года)[22]. Кронеккер, не будучи в состоянии принять это приглашение вследствие смерти жены, в своем ответе высказал аргументы в пользу и против этой организации; письмо его, в существенной части, было опубликовано в первом томе “Jahresbericht”. По случаю первого собрания Объединения Кантор прочел также знаменитый доклад [17], в котором упростил доказательство одного из своих теоретико-множественных результатов, что позволило теми же средствами (с помощью диагонального процесса) установить существование бесконечного числа различных трансфинитных мощностей. Это рассуждение значительно проще доказательства того же предложения с помощью числовых классов в части 5 работы [13] и избегает, сверх того, обходного пути через порядковые числа.

Более широкий план Кантора - основать международную организацию математиков потерпел неудачу; но он решительно и успешно работал над учреждением Международных математических конгрессов.