Жизнь Георга Кантора

Кантор завершил свои математические публикации вышедшей в 1895−97 годах статьей [17] из двух частей. Она представляет систематическое изложение большей части его результатов по общей теории множеств и написана совсем в ином − можно сказать, классически зрелом − духе, чем его прежние работы. Мы находим здесь предназначенную для математической публики, освобожденную от критических и философских прибавлений версии работы «К учению о трансфинитном»; при этом весьма подробно излагается еще не-достававшая там теория вполне упорядоченных множеств и порядковых чисел, но первоначально задуманное применение ее к теории кардинальных чисел опущено, по-видимому, из-за отсутствия теоремы о полном упорядочении. Из «классических» теорем абстрактной теории множеств мы не обнаруживаем в [17] лишь теоремы эквивалентности, первые доказательства которой появились в то же время.

При сравнении работы [17] , одной из двух величайших и бессмертных работ Кантора, со второй из них, [13], прежде всего видно смещение центра тяжести от множеств к числам; далее значительный прогресс в смысле ясности и систематичности делает эту статью еще и сейчас ценной для преподавания.

В таком развитии чувствуется влияние Дедекинда, невольное и, возможно, не осознанное обоими. Но и в этой поздней работе заметно сохраняется дистанция, отделяющая ее от построений Дедекинда и Фреге, как в отношении самого понятия множества, так и в способе последовательного восхождения, отправляющегося от конечных множеств, и в (неоправданном по существу) ограничении вторым числовым классом.

В особенности следует отметить начало статьи [17]. Здесь приводится известное определение множества, заметно отличающееся от предыдущих (ср. также часть 1 работы «К учению о трансфинитном»), а затем вводится понятие мощности в смысле только что указанной работы − как общего понятия, возникающего из множества при двойной абстракции, от природы элементов и от порядка их задания; таким образом, понятие мощности уже не определяется через эквивалентность, как в [13]. За надлежащим образом видоизмененными определениями упорядочения по величине и мощностей следует отчетливое замечание, что «сравнимость» не самоочевидна и не может быть доказана в этом месте построения; автор обещает доказать теорему о сравнимости в дальнейшем и указывает, что «теорема эквивалентности» будет вытекать из нее как следствие.

4. Старость и признание

В 1897 году завершается публикация работ 52-летнего в то время исследователя. Тогда же начинается все возрастающее признание его труда математическим миром.

Прекращение научной продукции вовсе не означает, что он перестал интенсивно заниматься теорией множеств. Применениям в теории функций действительного переменного он уделял мало внимания, более ожидая вторжения методов теории множеств в классический анализ и в теорию чисел. В центре же его интересов по-прежнему находилась проблема континуума. Об его усилиях в этом направлении, кроме волнующего эпизода в 1904 г., говорит также переписка с Дедекиндон летом 1899 г. Эти последние дошедшие до нас обрывки переписки, отделенные от предыдущих почти двадцатилетним промежутком, начинаются с утверждения Кантора, что с 1897 г. он располагает доказательством теоремы, в силу которой все мощности суть алефы. Дело заключалось в следующем.